广东省广州市番禺区2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-10-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 如果 $a < 0 ， b > 0$ ，那么下列不等式中正确的是（）

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 $\sqrt{- a} < \sqrt{b}$ C、 $a^{2} < b^{2}$ D、 $| a | > | b |$

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2. 命题“ $\forall x \in [0 ， + \infty) ， x^{3} + x \geq 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in (- \infty ， 0) ， x^{3} + x < 0$ B、 $\forall x \in (- \infty ， 0) ， x^{3} + x \geq 0$ C、 $\exists x_{0} \in [0 ， + \infty) ， x_{0}^{3} + x_{0} < 0$ D、 $\exists x_{0} \in [0 ， + \infty) ， x_{0}^{3} + x_{0} \geq 0$

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3. 记S_n为等差数列{a_n}的前n项和．若a₄+a₅=24，S₆=48，则{a_n}的公差为（　　）

A、1 B、2 C、4 D、8

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4. 已知直线 $l ： y = 2 x + m$ 和圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 1$ ，则“ $m = \sqrt{5}$ ”是“直线 $l$ 与圆 $O$ 相切”的（）.

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 广告投入对商品的销售额有较大影响，某电商对连续5个年度的广告费 $x$ 和销售额 $y$ 进行统计，得到统计数据如下表（单位：万元）

广告费 $x$

2

3

4

5

6

销售额 $y$

29

41

50

59

71

由上表可得回归方程为 $\hat{y} = 10.2 x + \hat{a}$ ，据此模型，预测广告费为10万元时销售额约为（）

A、118.2万元 B、111.2万元 C、108.8万元 D、101.2万元

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6. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = B C = 1$ ， $A A_{1} = \sqrt{3}$ ，则直线 $A B_{1}$ 与平面 $D D_{1} B_{1} B$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{14}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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7. 某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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8. 已知椭圆C的焦点为 $F_{1} (- 1 ， 0) ， F_{2} (1 ， 0)$ ，过F₂的直线与C交于A ， B两点.若 $│ A F_{2} │ = 2 │ F_{2} B │$ ， $│ A B │ = │ B F_{1} │$ ，则C的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

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二、多选题

9. 设抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的顶点为O，焦点为F，准线为l： $P (x ， y)$ 是抛物线上异于O的一点，过P作 $P Q ⊥ l$ 于Q，则（）

A、 $| P F | = x_{1} + \frac{p}{2}$ B、线段 $F Q$ 的垂直平分线经过点P C、以 $P F$ 为直径的圆与y轴相切 D、以 $P F$ 为直径的圆与准线相切

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10. 某电子商务公司对10000名网络购物者2019年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间 $[0.3 ， 0.9]$ 内，其频率分布直方如图所示，则（）

A、直方图中的 $a = 3$ B、用直方图估计这些消费金额的中位数为0.55 C、用直方图估计这些消费金额的众数为0.50 D、消费金额在区间 $[0.5 ， 0.9]$ 内的购物者的人数为6000人

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11. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a^{2} + b^{2} = 1$ ，则（）

A、 $a + b \leq \sqrt{2}$ B、 $a b \leq \frac{1}{2}$ C、 $a + b > \sqrt{2}$ D、 $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} \geq 4$

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12. （多选题）a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论正确的是（）

A、当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角； B、当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角； C、直线AB与a所成角的最小值为45°； D、直线AB与a所成角的最大值为60°.

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三、填空题

13. 若x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y \geq 0 ， \\ 2 x - y \geq 0 ， \\ x \leq 1 ， \end{matrix}$ ，则z=3x+2y的最大值为．

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14. 若数列{a_n}的前n项和为S_n= $\frac{2}{3}$ a_n+ $\frac{1}{3}$ ，则数列{a_n}的通项公式是a_n= ．

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15. 在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F分别在棱 $B_{1} B$ 和 $D_{1} D$ 上，且 $B E = \frac{1}{3} B B_{1} ， D F = \frac{2}{3} D D_{1}$ ，若 $\vec{E F} = x A B + y A D + z \vec{A A_{1}}$ ，则 $x + y + z =$ ．

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16. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为2，过右焦点且垂直于 $x$ 轴的直线与双曲线交于 $A ， B$ 两点. 设 $A ， B$ 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 $d_{1}$ 和 $d_{2}$ ，且 $d_{1} + d_{2} = 6$ ，则双曲线的方程为．

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四、解答题

17. 已知圆C过 $A (- 2 ， 2) ， B (2 ， 6)$ 两点，且圆心C在直线 $3 x + y = 0$ 上．

(1)、求圆C的方程；

(2)、若直线 $3 x - 4 y + 20 = 0$ 与圆C相交于M，N两点，求弦 $M N$ 的长度．

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18. 给出以下三个条件：① $4 a_{3}$ ， $3 a_{4}$ ， $2 a_{5}$ 成等差数列；②对于 $\forall n \in N^{*}$ ，点 $(n, S_{n})$ 均在函数 $y = 2^{x} - a$ 的图象上，其中 $a$ 为常数；③ $S_{3} = 7$ ．请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．
设 ${a_{n}}$ 是一个公比为 $q (q > 0, q \neq 1)$ 的等比数列，且它的首项 $a_{1} = 1$ ，．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = 2 \log_{2} a_{n} + 1 (n \in N^{*})$ ，证明数列 ${\frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n} < \frac{1}{2}$ ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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19. 已知二次函数 $f (x) = x^{2} - (m - 1) x + 2 m$ ．

(1)、若 $f (x) > 0$ 对一切 $x \in R$ 恒成立，求实数m的取值范围；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， 1)$ 上有且只有一个零点，求实数m的取值范围．

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20. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A D = A A_{1} = 1$ ， $A B = 2$ ，点E在棱 $A B$ 上移动．

(1)、求证： $D_{1} E ⊥ A_{1} D$ ；

(2)、当点E为棱 $A B$ 的中点时，求点 $B_{1}$ 到平面 $E C D_{1}$ 的距离；

(3)、当 $A E$ 为何值时，平面 $D_{1} E C$ 与平面 $A E C D$ 所成角为 $\frac{π}{4}$ ？

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21. 甲、乙两位学生参加数学竞赛集训，现分别从他们在集训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下：

甲	82	81	79	78	95	88	93	84
乙	92	95	80	75	83	80	90	85

(1)、用茎叶图表示这两组数据；

(2)、若要从中选派一人参加数学竞赛，为了获得较高的的竞赛成绩，从概率的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由；

(3)、若要从中选派一人参加数学竞赛，为了获得较稳定的竞赛成绩，从统计的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．

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22. 已知P是抛物线C： $y = \frac{1}{4} x^{2} - 3$ 的顶点，A，B是C上的两个动点，且 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = - 4$ ．

(1)、试判断直线 $A B$ 是否经过某一个定点？若是，求这个定点的坐标；若不是，说明理由；

(2)、设点M是 $△ P A B$ 的外接圆圆心，求点M的轨迹方程．

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广告费 $x$	2	3	4	5	6
销售额 $y$	29	41	50	59	71