广东省高州市2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-10-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 焦点在 $y$ 轴上的双曲线 $y^{2} - \frac{x^{2}}{\frac{1}{m}} = 1$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，则 $m$ 的值为（）

A、1 B、4或1 C、3 D、4

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2. “ $2 x^{2} - 5 x - 3 < 0$ ”的一个必要不充分条件是（）

A、 $- \frac{1}{2} < x < 3$ B、 $- 1 < x < 6$ C、 $- 3 < x < \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2} < x < 0$

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3. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $x + y = 8$ ，则 $(1 + x) (1 + y)$ 的最大值为（）

A、16 B、25 C、9 D、36

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4. 已知空间四点 $A (- 1 ， 0 ， 1)$ ， $B (0 ， 0 ， 1)$ ， $C (2 ， 2 ， 2)$ ， $D (0 ， 0 ， 3)$ ，则 $\cos 〈 \vec{A B} ， \vec{C D} 〉 =$ （）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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5. 已知 $\vec{A B} = 3$ ，A、B分别在 $x$ 轴和 $y$ 轴上运动， $O$ 为原点， $\vec{O P} = \frac{1}{3} \vec{O A} + \frac{2}{3} \vec{O B}$ ，则动点 $P$ 的轨迹方程是（）

A、 $x^{2} + y^{2} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{9} + y^{2} = 1$ C、 $x^{2} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$

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6. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足 ${\begin{array}{l} x + y - 1 \leq 0 \\ x - y + 1 \geq 0 \\ y \geq - 1 \end{array}$ ，则 $m = {(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{9}{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ C、0 D、-1

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7. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1 ， F_{1} 、 F_{2}$ 分别是椭圆的左、右焦点，点 $A (1 ， 1)$ 为椭圆内一点，点 $P$ 为椭圆上一点，则 $| P A | + | P F_{1} |$ 的最大值是（）

A、6 B、 $6 + 2 \sqrt{2}$ C、 $6 - \sqrt{2}$ D、 $6 + \sqrt{2}$

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8. 若不等式 $\log_{2} \frac{1 + 2^{x} + (1 - a) 3^{x}}{3} \geq (x - 1) \log_{2} 3$ 对任意 $x \in (- \infty ， 1)$ 恒成立，则实数 $a$ 的范围是（）

A、 $(- \infty ， 0]$ B、 $(- \infty ， 1]$ C、 $[0 ， + \infty)$ D、 $[1 ， + \infty)$

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二、多选题

9. 设 $a$ ， $b$ ， $c$ 为实数，且 $a > b > 0$ ，则下列不等式中正确的是（）

A、 $\log_{2} (a b) > \log_{2} b^{2}$ B、 $a c^{2} > b c^{2}$ C、 $\frac{b}{a} < 1 < \frac{a}{b}$ D、 ${(\frac{1}{2})}^{a} > {(\frac{1}{2})}^{b}$

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 是公差 $d$ 不为0的等差数列，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{1} + 5 a_{3} = S_{8}$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $a_{10} = 0$ B、 $S_{7} = S_{12}$ C、 $d < 0$ D、 $S_{19} = 0$

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11. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，则满足下面条件的三角形一定为直角三角形的是（）

A、 $a + b = c (\cos A + \cos B)$ B、 $a \tan B - b \tan A = 0$ C、 $a = c \sin A$ D、 $a \cos B - b \cos A = c$

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12. 已知直线 $l$ 过抛物线 $C ： y^{2} = - 2 p x (p > 0)$ 的焦点，且与该抛物线交于 $M$ ， $N$ 两点.若线段 $M N$ 的长是16， $M N$ 中点到 $y$ 轴的距离是6， $O$ 为坐标原点，则（）

A、抛物线 $C$ 的方程是 $y^{2} = - 8 x$ B、抛物线 $C$ 的准线为 $x = 3$ C、直线 $l$ 的斜率为1 D、 $△ M O N$ 的面积为 $8 \sqrt{2}$

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三、填空题

13. 命题 $P$ ：总存在 $x_{0} \in R$ ，使得 $x_{0}^{2} + x_{0} + 1 < 0$ ，则 $\neg P$ 为.

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14. 已知双典线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的焦距为 $4 \sqrt{2}$ ，且两条渐近线互相垂直，则双曲线虚轴的长为.

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15. 若数列 ${a_{n}}$ 满足 $\frac{1}{a_{n + 1}} - \frac{1}{a_{n}} = d (n \in N^{*} ， d 为常数)$ ，则称数列 ${a_{n}}$ 为调和数列.已知数列 ${\frac{1}{x_{n}}}$ 为调和数列，且 $x_{1} + x_{2} + \dots + x_{20} = 200$ ，则 $x_{5} + x_{16} =$ .

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16. 如图，椭圆的中心在坐标原点 $O$ ，顶点分别是 $A_{1} 、 A_{2} 、 B_{1} 、 B_{2}$ ，焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2}$ ，延长 $B_{1} F_{2}$ 与 $A_{2} B_{2}$ 交于 $P$ 点，若 $∠ B_{1} P B_{2}$ 为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围是．

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等差数列， ${b_{n}}$ 是等比数列，且 $b_{2} = 3$ ， $b_{3} = 9$ ， $a_{1} = b_{1}$ ， $a_{14} = b_{4}$

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $C_{n} = a_{n} + b_{n}$ ，求数列 ${C_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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18. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 60 °$ ， $A B = 6$ ， $A C = 3$ ，点 $D$ 在 $B C$ 边上，

(1)、求 $B C$ 边的长；

(2)、若 $A D = B D$ ，求 $A D$ 的长.

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19. 某市修建一条24km长的供水管，供水管两端的设施已建设好，余下工程在该两端的供水管之间铺设供水管道和等距离修建增压站保证供水效果.经测算，修建一个增压站的费用为36万元，铺设距离为 $x km$ 的相邻两增压站之间的供水管的费用为 $x^{2} + x$ 万元.问需要修建多少个增压站，才使余下工程总费用最小？

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20. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $A B = 4$ ， $A D = 3$ ， $A A_{1} = 2$ ， $E$ 、 $F$ 分别是线段 $A B$ 、 $B C$ 上的点，且 $E B = F B = 1$ .

(1)、求二面角 $C - D E - C_{1}$ 的正弦值；

(2)、求直线 $E C_{1}$ 与 $F D_{1}$ 所成角的余弦值.

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21. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 x - 8$ ， $g (x) = 2 x^{2} - 4 x - 16$

(1)、求不等式 $g (x) < 0$ 的解集；

(2)、若对一切 $x > 2$ 的实数，均有 $f (x) \geq (m + 2) x - m - 15$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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22. 已知直线 $l ： x = m y + 1$ 过椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的右焦点 $F$ ，抛物线 $x^{2} = 4 \sqrt{3} y$ 的焦点为椭圆 $C$ 的上顶点，且 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $A 、 B$ 两点，点 $A 、 F 、 B$ 在直线 $g ： x = 4$ 上的射影依次为 $D 、 K 、 E$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 交 $y$ 轴于点 $M$ ，且 $\overset{⇀}{M A} = λ_{1} \overset{⇀}{A F} ， \overset{⇀}{M B} = λ_{2} \overset{⇀}{B F}$ ，当 $m$ 变化时，证明： $λ_{1} + λ_{2}$ 为定值；

(3)、当 $m$ 变化时，直线 $A E$ 与 $B D$ 是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.

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