广东省佛山市2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-10-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 命题“ $\exists m \in N$ ， $\sqrt{m^{2} + 1} \in N$ ”的否定是（）

A、 $\forall m \notin N$ ， $\sqrt{m^{2} + 1} \in N$ B、 $\forall m \in N$ ， $\sqrt{m^{2} + 1} \notin N$ C、 $\exists m \in N$ ， $\sqrt{m^{2} + 1} \notin N$ D、 $\exists m \notin N$ ， $\sqrt{m^{2} + 1} \in N$

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2. 直线 $x + \sqrt{3} y - 2 = 0$ 的倾斜角为（）

A、30º B、60º C、120º D、150º

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3. 两平行直线 $l_{1} ： a x + y - 2 = 0$ ， $l_{2} ： 2 x - y + 3 = 0$ 之间的距离是（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\sqrt{5}$ C、1 D、5

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4. 已知 $l$ ， $m$ 为两条不同直线， $α$ ， $β$ 为两个不同平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $l // α$ ， $m \subset α$ ，则 $l // m$ B、若 $l // α$ ， $m // α$ ，则 $l // m$ C、若 $l \subset α$ ， $m \subset β$ ， $α // β$ ，则 $l // m$ D、若 $l // α$ ， $l // β$ ， $α \cap β = m$ ，则 $l // m$

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5. 月球绕地球公转的轨道近似于一个以地心为焦点的椭圆.已知近地点距离（月心到地心的最小距离）约为36.4万公里，远地点距离（月心到地心的最大距离）约为40.6万公里，据此可估算月球轨道的离心率为（）

A、 $\frac{3}{29}$ B、 $\frac{26}{29}$ C、 $\frac{3}{55}$ D、 $\frac{52}{55}$

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6. “ $k = 1$ ”是“两点 $A (1 ， 3)$ ， $B (7 ， 5)$ 到直线 $l ： y = k x$ 的距离相等”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 若 $A$ ， $B$ 是抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 上的两个动点，满足 $| A B | = 8$ ，则线段 $A B$ 的中点 $M$ 到抛物线 $C$ 的准线 $l$ 的距离的最小值为（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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8. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，点 $O$ 为底面 $A B C D$ 的中心，点 $P$ 在侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 的边界及其内部运动．若 $D_{1} O ⊥ O P$ ，则 $△ D_{1} C_{1} P$ 面积的最大值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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二、多选题

9. 已知 $M$ 是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 上一点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是其左右焦点，则下列选项中正确的是（）

A、椭圆的焦距为2 B、椭圆的离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $| M F_{1} | + | M F_{2} | = 2 \sqrt{2}$ D、 $△ M F_{1} F_{2}$ 的面积的最大值是4

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10. 平面 $α$ 与平面 $β$ 平行的条件可以是（）

A、 $α$ 内有无数条直线都与 $β$ 平行 B、 $α$ 内的任何直线都与 $β$ 平行 C、两条相交直线同时与 $α$ ， $β$ 平行 D、两条异面直线同时与 $α$ ， $β$ 平行

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11. 设有一组圆 $C_{k} ： {(x - k)}^{2} + {(y - k)}^{2} = 4 (k \in R)$ ，下列命题正确的是（）

A、不论 $k$ 如何变化，圆心 $C_{k}$ 始终在一条直线上 B、存在圆 $C_{k}$ ，经过点 $(3 ， 0)$ C、存在定直线始终与圆 $C_{k}$ 相切 D、若圆 $C_{k}$ 上总存在两点到原点的距离为1，则 $k \in (\frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{3 \sqrt{2}}{2})$

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12. 佩香囊是端午节传统习俗之一.香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功效.因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目.图1的平行四边形 $A B C D$ 由六个边长为1的正三角形构成.将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊.那么在图2这个六面体中（）

A、 $A B$ 与 $C D$ 是异面直线 B、 $A B$ 与 $C D$ 是相交直线 C、存在内切球，其表面积为 $\frac{8}{27} π$ D、存在外接球，其体积为 $\frac{8 \sqrt{6}}{27} π$

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三、填空题

13. 双曲线 $9 y^{2} - 16 x^{2} = 144$ 的渐近线方程为．

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14. 抛物线 $y^{2} = m x (m$ 为常数 $)$ 过点 $(- 1 ， 1)$ ，则抛物线的焦点坐标为.

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15. 空间四边形两对角线的长分别为6和8﹐所成的角为60°，连接各边中点所得四边形的面积是.

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16. 2020年11月，我国用长征五号遥五运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器，探测器在进入近圆形的环月轨道后，将实施着陆器和上升器组合体与轨道器和返回器组合体分离.我们模拟以下情景：如图，假设月心位于坐标原点 $O$ ，探测器在 $A (4000 \sqrt{7} ， 0)$ 处以 $12 km / s$ 的速度匀速直线飞向距月心 $2000 km$ 的圆形轨道上的某一点 $P$ ，在点 $P$ 处分离出着陆器和上升器组合体后，轨道器和返回器组合体立即以 $18 km / s$ 的速度匀速直线飞至 $B (0 ， 3000)$ ，这一过程最少用时s.

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四、解答题

17. 如图，梯形 $A B C D$ 中， $A B // C D$ ， $A B ⊥ A D$ ，且 $A B = A D = 1$ ， $C D = 2$ .现选择梯形的某一边为轴旋转一周，请说明所得到的几何体的构成并计算该几何体的体积.
注：若有多种选择分别解答，按第一种选择的解答给分.

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18. 如图，四面体 $A B C D$ 中， $B C = C D$ ， $∠ B C D = 90 °$ ， $A D ⊥$ 平面 $B C D$ . $M$ 为 $A D$ 中点， $P$ 为 $B M$ 中点，点 $Q$ 在线段 $A C$ 上，且 $A Q = 3 Q C$ .

(1)、求证： $P Q //$ 平面 $B C D$ ；

(2)、若 $A D = D C$ ， $N$ 是 $C D$ 的中点，求证： $N Q ⊥$ 平面 $A B C$ .

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19. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知四点 $A (0 ， 1)$ ， $B (3 ， 0)$ ， $C (1 ， 4)$ ， $D (0 ， 3)$ .

(1)、这四点是否在同一个圆上?如果是，求出这个圆的方程；如果不是，请说明理由；

(2)、求出到点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 的距离之和最小的点 $P$ 的坐标.

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20. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，动圆 $P$ 过点 $F (1 ， 0)$ ，且与直线 $l ： x = - 1$ 相切，设圆心 $P$ 的轨迹是曲线 $C$ .

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、已知 $M (2 ， 0)$ ， $N (- 2 ， 1)$ ，过点 $M$ 的直线交曲线 $C$ 于点 $A$ ， $B$ （ $A$ 位于 $x$ 轴下方）， $A B$ 中点为 $Q$ ，若直线 $Q N$ 与 $x$ 轴平行，求证：直线 $N A$ 与曲线 $C$ 相切.

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21. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ 分别是棱 $A B$ ， $B C$ 上的动点，且 $A E = B F$ .

(1)、求证： $A_{1} F ⊥ C_{1} E$ ；

(2)、当 $E F$ 取得最大值时，求二面角 $E - A_{1} C_{1} - F$ 的余弦值.

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22. 已知椭圆 $Γ ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，且经过点 $(1 ， \frac{3}{2})$ .

(1)、求椭圆 $Γ$ 的方程；

(2)、已知 $O$ 为坐标原点，若平行四边形 $O A C B$ 的三个顶点 $A$ ， $B$ ， $C$ 均在椭圆 $Γ$ 上，求证：平行四边形 $O A C B$ 的面积为定值.

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