广东省潮州市2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-10-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 命题“ $\forall x \in (0, 1), x^{2} - x < 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x_{0} \notin (0, 1), x_{0}^{2} - x_{0} \geq 0$ B、 $\forall x_{0} \notin (0, 1), x_{0}^{2} - x_{0} < 0$ C、 $\forall x_{0} \in (0, 1), x_{0}^{2} - x_{0} \geq 0$ D、 $\exists x_{0} \in (0, 1), x_{0}^{2} - x_{0} \geq 0$

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2. 在 $△ A B C$ 中，若 $\frac{\sin A}{a} = \frac{\cos B}{b}$ ，则角 $B$ 为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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3. 如果 $a > b > 0$ ，那么下列不等式一定成立的是（）

A、 $c - a > c - b$ B、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ C、 ${(\frac{1}{2})}^{a} > {(\frac{1}{2})}^{b}$ D、 $\ln a > \ln b$

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4. 过椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上顶点与右顶点的直线方程为 $x + 2 y - 4 = 0$ ，则椭圆 $C$ 的标准方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{20} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{24} + \frac{y^{2}}{8} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{32} + \frac{y^{2}}{8} = 1$

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5. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{15} = 30$ ， $a_{10} = 4$ ，则 $a_{9}$ 等于（）

A、2 B、3 C、4 D、8

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6. 若数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = \frac{n}{n^{2} + 196} (n \in N^{*})$ ，则这个数列中的最大项是（）

A、第12项 B、第13项 C、第14项 D、第15项

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7. 如图所示，为了测量A、B处岛屿的距离，小明在D处观测，A、B分别在D处的北偏西15º、北偏东45º方向，再往正东方向行驶10海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60º方向，则A、B两岛屿的距离为（）海里．

A、 $5 \sqrt{6}$ B、 $10 \sqrt{6}$ C、 $10 \sqrt{2}$ D、 $20 \sqrt{2}$

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8. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $\frac{2}{y} + \frac{1}{x} = 1$ ，则 $x + 2 y$ 的最小值为（）

A、9 B、12 C、16 D、20

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9. 如图，空间四边形 $A B C D$ 中， $E$ ， $F$ 分别是 $B C$ ， $C D$ 的中点， $\vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{B C} + \frac{1}{2} \vec{B D} =$ （）

A、 $\vec{A D}$ B、 $\vec{F A}$ C、 $\vec{A F}$ D、 $\vec{E F}$

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10. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1 (a > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，离心率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，P为双曲线右支上一点，且满足 ${| P F_{1} |}^{2} - {| P F_{2} |}^{2} = 4 \sqrt{15}$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为（）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{5} + 2$ C、 $2 \sqrt{5} + 4$ D、 $2 \sqrt{3} + 4$

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11. 已知 $a \in Z ，$ 关于x的一元二次不等式 $x^{2} - 6 x + a \leq 0$ 的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是（）

A、13 B、18 C、21 D、26

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12. 已知 $A ， B ， C$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 上的三个点， $A B$ 经过原点 $O$ ， $A C$ 经过右焦点 $F$ ，若 $B F ⊥ A C$ 且 $2 | A F | = | C F |$ ，则该双曲线的离心率是（）

A、 $\frac{5}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{17}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{17}}{2}$ D、 $\frac{9}{4}$

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二、填空题

13. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{m} = 1$ 的一个焦点为 $(0 ， 1)$ ，则 $m =$ ．

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14. 已知在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} a_{2} a_{3} = 8$ ， $a_{4} + a_{5} = 0$ ，则 $a_{6} =$ ．

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15. 已知空间直角坐标系中，点 $A (- 1 ， 1 ， 2)$ ， $B (- 3 ， 0 ， 4)$ ，若 $| \vec{c} | = 6$ ， $\vec{c} // \vec{A B}$ ，则 $\vec{c} =$ ．

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16. 下表数阵的特点是每行每列都成等差数列，记第i行第j列的数为

a_{i j}

则（1）

a_{n n} =

（

n \in N^{*}

）；（2）表中的数52共出现次.

2	3	4	5	6	7	…
3	5	7	9	11	13	…
4	7	10	13	16	19	…
5	9	13	17	21	25	…
6	11	16	21	26	31	…
7	13	19	25	31	37	…
…	…	…	…	…	…	…

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三、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，等比数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ， $a_{1} = - 1$ ， $b_{1} = 1$ ， $a_{2} + b_{2} = 3$ .

(1)、若 $a_{3} + b_{3} = 7$ ，求 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $T_{3} = 13$ ，求 $S_{n}$ .

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18. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $b^{2} + c^{2} - a^{2} = \frac{4 \sqrt{2}}{3} b c$ .

(1)、求 $\sin A$ 的值；

(2)、若 $Δ A B C$ 的面积为 $\sqrt{2}$ ，且 $\sqrt{2} \sin B = 3 \sin C$ ，求 $Δ A B C$ 的周长.

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19. 已知命题 $p ： 2 - a < t \leq 3 + a$ ，命题 $q ：$ 方程 $\frac{x^{2}}{4 t} + \frac{y^{2}}{t^{2} + 3} = 1$ 表示焦点在 $x$ 轴上的椭圆．

(1)、当 $a = 1$ 时，判断“命题 $p$ ”是“命题 $q$ ”成立的什么条件？

(2)、若“命题 $p$ ”是“命题 $q$ ”成立的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围．

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20. 如图所示，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $△ A B C$ 为等腰直角三角形， $∠ B A C = 90 °$ ，且 $A A_{1} = A B$ ， $D 、 E 、 F$ 分别为 $B_{1} A$ 、 $C_{1} C$ 、 $B C$ 的中点．

(1)、求证： $D E / /$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求二面角 $B_{1} - A E - F$ 的余弦值．

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21. 十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作.该地区有200户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为3万元.为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员 $x (x > 0)$ 户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高 $4 x %$ ，而从事水果加工的农民平均每户收入将为 $3 (a - \frac{3 x}{50}) (a > 0)$ 万元.

(1)、若动员 $x$ 户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求 $x$ 的取值范围；

(2)、在（1）的条件下，要使这200户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求 $a$ 的最大值.

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22. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $F$ 到直线 $x - y + 1 = 0$ 的距离为 $\sqrt{2}$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、点 $O$ 为坐标原点，直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 经过点 $M (- 1 ， 0)$ ，斜率为 $k_{1}$ 的直线 $l_{1}$ 与抛物线 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，斜率为 $k_{2}$ 的直线 $l_{2}$ 与抛物线 $C$ 交于 $D$ 、 $E$ 两点，记 $λ = | M A | \cdot | M B | \cdot | M D | \cdot | M E |$ ，若 $k_{1} k_{2} = - \frac{1}{2}$ ，求 $λ$ 的最小值.

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2	3	4	5	6	7	…
3	5	7	9	11	13	…
4	7	10	13	16	19	…
5	9	13	17	21	25	…
6	11	16	21	26	31	…
7	13	19	25	31	37	…
…	…	…	…	…	…	…

2	3	4	5	6	7	…
3	5	7	9	11	13	…
4	7	10	13	16	19	…
5	9	13	17	21	25	…
6	11	16	21	26	31	…
7	13	19	25	31	37	…
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2	3	4	5	6	7	…
3	5	7	9	11	13	…
4	7	10	13	16	19	…
5	9	13	17	21	25	…
6	11	16	21	26	31	…
7	13	19	25	31	37	…
…	…	…	…	…	…	…