甘肃省西昌市2020-2021学年高二上学期理数期末检测试卷

试卷更新日期：2021-10-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 某医院有医生54人，护士42人，用分层抽样的方法组建一个16人的医疗队参加新冠肺炎治疗，则抽取的医生人数为（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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2. 空间直角坐标系中，点 $P (- 1 ， 2 ， - 3)$ 关于平面 $y o z$ 对称的点 $P_{1}$ 的坐标为（）

A、 $(- 1 ， - 2 ， - 3)$ B、 $(1 ， 2 ， - 3)$ C、 $(1 ， - 2 ， - 3)$ D、 $(1 ， 2 ， 3)$

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3. 总体由编号为01、02、…、49、50的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，方法是从随机数表的第6行的第9、10列开始，从左到右依次选取两个数，则选出的第5个个体的编号为（）
附：第6行至第7行的随机数表

$\begin{array}{l} 2748 & 6198 & 7164 & 4148 & 7086 & 2888 & 8519 & 1620 \\ 7477 & 0111 & 1630 & 2404 & 2979 & 7991 & 9683 & 5125 \end{array}$

A、16 B、19 C、20 D、01

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4. 直线 $l$ 过原点，若 $A (1 ， 0)$ 、 $B (0 ， 1)$ 两点到直线 $l$ 的距离相等，则直线 $l$ 的方程为（）

A、 $x - y = 0$ B、 $x + y = 0$ C、 $x + y = 0$ 或 $x - y = 0$ D、 $x + y + 1 = 0$ 或 $x - y - 1 = 0$

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5. 已知 $A B$ 是抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的一条焦点弦，弦 $A B$ 的中点 $C$ 到 $y$ 轴的距离为4，则 $| A B | =$ （）

A、4 B、6 C、8 D、10

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6. 在 $△ A B C$ 中，“ $\sin A \geq \sin B$ ”是“ $\cos A \leq \cos B$ ”的（）

A、既不充分也不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分不必要条件 D、充要条件

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7. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦点分别是 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线 $l$ 垂直 $x$ 轴交椭圆于A、 $B$ 两点，且 $| A B | = 3$ ，椭圆与 $y$ 轴正半轴交于 $D$ 且 $| D F_{1} | = 2$ ，则椭圆 $C$ 的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ B、 $x^{2} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

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8. 2020年12月4日中国量子计算机原型机“九章”问世，它处理特定问题的速度比目前世界排名第一的超级计算机“富岳”快一百万亿倍.量子科技已经上升为国家战略，量子信息技术有望成为中国在“十四五”期间“换道超车”掌握知识产业链话语权的重要核心技术.如图所示算法框图思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该算法框图，若输入的 $a$ 、 $b$ 分别为153、204，则输出的 $a =$ （）

A、1 B、3 C、17 D、51

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9. 与直线 $\sqrt{3} x + y + 1 = 0$ 垂直，并且与圆 $x^{2} + y^{2} - 8 x + 7 = 0$ 相切的直线方程是（）

A、 $x - \sqrt{3} y + 2 = 0$ B、 $\sqrt{3} x + y - 2 = 0$ C、 $x - \sqrt{3} y - 2 = 0$ D、 $\sqrt{3} x + y + 2 = 0$

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10. 方程 $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{m} = 1$ 表示离心率不大于 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的椭圆的必要不充分条件是（）

A、 $2 \leq m < 8$ B、 $8 < m \leq 32$ C、 $2 \leq m \leq 32$ D、 $2 \leq m < 8$ 或 $8 < m \leq 32$

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11. 直线 $l ： x - \sqrt{3} y \cos θ = 0$ 被圆 $x^{2} + y^{2} - 6 x + 5 = 0$ 截得最大弦长为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{7}$ D、3

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12. 直线 $y = x + 1$ 与椭圆 $m x^{2} + n y^{2} = m n (m > n > 0)$ 相交于 $A$ ､ $B$ 两点，弦 $A B$ 的中点纵坐标为 $\frac{2}{3}$ ，则双曲线 $\frac{y^{2}}{m^{2}} - \frac{x^{2}}{n^{2}} = 1$ 的两条渐近线所夹锐角的余弦值为（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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二、填空题

13. 高二年级甲､乙两班参加元旦歌唱比赛，评委打分结果如图所示，其中甲班平均分是85，乙班得分的中位数是85，则 $x + y =$ .

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14. 命题“若 $x^{2} \neq 1$ ，则 $x \neq m$ ”的逆命题是真命题，则 $m$ 的取值范围是.

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15. 圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y - 3 = 0$ 上恰好有两点到直线 $x + y - a = 0$ 的距离为 $\sqrt{2}$ ，则实数 $a$ 的取值范围是.

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16. 下列命题中是真命题的有：(只填序号).
①根据最小二乘法由一组样本点 $(x_{i} ， y_{i})$ (其中 $i = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot 300$ )，求得的回归方程是 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，若回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 的斜率 $\hat{b} > 0$ ，则变量 $x$ 与 $y$ 正相关；

②“ $k = 0$ ”是直线 $y = k x - \sqrt{2}$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 2$ 相切的充要条件；

③若直线 $l$ 的倾斜角是 $α$ ，则直线 $l$ 的斜率 $k = \tan α$ ；

④已知双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 以及点 $P (4 ， - 1)$ ，则以 $P$ 为中点的弦所在直线的斜率为 $- 3$ .

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三、解答题

17. 已知直线 $l$ 的方程为 $(m - 2) x + m y + 3 = 0$ ，直线 $l_{1}$ 的方程为： $x + (m - 2) y + 4 = 0$ ，

(1)、当 $m = - 1$ 时，求过点 $A (2 ， - 2)$ 与 $l$ 平行的直线方程；

(2)、当直线 $l ⊥ l_{1}$ 时，求实数 $m$ 的值.

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18. 已知命题 $p$ ：方程 $\frac{x^{2}}{1 - a} + \frac{y^{2}}{a + 3} = 1$ 表示双曲线；命题 $q$ ： $\forall x \in R$ ，不等式 $a x^{2} + a x + 1 > 0$ 恒成立.

(1)、若命题 $q$ 是真命题，求实数 $a$ 的取值范围

(2)、若“ $p \land q$ ”是假命题，“ $p \lor q$ ”是真命题，求实数 $a$ 的取值范围

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19. 西昌市某中学高二（1）班参加期末考试，数学成绩均在90-150分之间，将该班数学成绩整理后画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小矩形面积之比为 $2 ： 4 ： 17 ： 15 ： 9 ： 3$ ，第二小组频数为12.

(1)、该班一共多少个学生参加考试？

(2)、根据频率分布直方图估算数学成绩的中位数和平均数.(同一组中的分数用该组小矩形底边中点值为代表)

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20. 已知圆 $O_{1}$ 经过点 $A (4 ， 1)$ ､ $B (- 2 ， 1)$ 两点，且圆心在直线 $2 x - 3 y - 8 = 0$ 上，圆 $O_{2}$ ： $x^{2} + y^{2} + 4 x + 2 y + 1 = 0$

(1)、求圆 $O_{1}$ 的标准方程；

(2)、求圆 $O_{1}$ 与圆 $O_{2}$ 的公共弦长

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21. 设 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别是椭圆 $C$ ： $\frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上下焦点， $M$ 是 $C$ 上一点，且 $M F_{2}$ 与 $y$ 轴垂直，直线 $M F_{1}$ 与椭圆 $C$ 的另一个交点为 $N$ .

(1)、若 $M N$ 所在直线斜率为 $\frac{4}{3}$ ，求 $C$ 的离心率；

(2)、若直线 $M N$ 在 $x$ 轴上的截距为1，且 $| M N | = 3 | F_{1} N |$ ，求椭圆 $C$ 的标准方程.

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22. 已知抛物线 $C$ 的顶点为 $(0 ， 0)$ ，焦点为 $F (\frac{1}{2} ， 0)$

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、过点 $F$ 作直线交抛物线 $C$ 于A、 $B$ 两点，若直线 $A O$ ， $B O$ 分别交直线 $l$ ： $y = x + 2$ 于 $M$ 、 $N$ 两点，求 $| M N |$ 的最小值.

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