北京市朝阳区2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-10-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 圆 $C ： x^{2} + 2 x + y^{2} - 1 = 0$ 的圆心C的坐标为（）

A、（1，0） B、（－1，0） C、（2，0） D、（－2，0）

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2. 已知直线l的方向向量为 $\vec{a}$ ，平面α的法向量为 $\vec{n}$ ，若 $\vec{a} = (- 1 ， 0 ， - 1)$ ， $\vec{n} = (1 ， 0 ， 1)$ ，则直线l与平面α（）

A、垂直 B、平行 C、相交但不垂直 D、位置关系无法确定

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3. 双曲线 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{6} = 1$ 的焦点到渐近线的距离为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{6}$

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4. 如图，已知直线l与圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 4$ 相交于A，B两点，若平面向量 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ 满足 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = - 2$ ，则 $\vec{O A}$ 和 $\vec{O B}$ 的夹角为（）

A、45° B、90° C、120° D、150°

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5. 光圈是一个用来控制光线透过镜头，进入机身内感光面的光量的装置.表达光圈的大小我们可以用光圈的F值表示，光圈的F值系列如下：F1，F1.4，F2，F2.8，F4，F5.6，F8，…，F64.光圈的F值越小，表示在同一单位时间内进光量越多，而且上一级的进光量是下一级的2倍，如光圈从F8调整到F5.6，进光量是原来的2倍.若光圈从F4调整到F1.4，则单位时间内的进光量为原来的（）

A、2倍 B、4倍 C、8倍 D、16倍

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6. 过抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上的一点 $A (3 ， y_{0}) (y_{0} > 0)$ 作其准线的垂线，垂足为 $B$ ，抛物线的焦点为 $F$ ，直线 $B F$ 在 $x$ 轴下方交抛物线于点 $E$ ，则 $| F E | =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、3 D、4

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7. 下列有四个说法：
①若直线与抛物线相切，则直线与抛物线有且只有一个公共点：②函数 $f (x) = \frac{1}{x}$ 在定义域上单调递减；③某质点沿直线运动，位移 $y$ （单位：m）与时间t（单位：s）满足关系式 $y = 5 t^{2} + 6$ 则 $t = 1 s$ 时的瞬时速度是10 m/s；④设x＞0， $f (x) = \ln x$ ， $g (x) = 1 - \frac{1}{x}$ ，则在（0，＋∞）上函数 $f (x)$ 的图象比 $g (x)$ 的图象要“陡峭”.

其中正确的序号是（）

A、①③ B、②③ C、①④ D、③④

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8. 如图，将边长为4的正方形折成一个正四棱柱的侧面，则异面直线AK和LM所成角的大小为（）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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9. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，椭圆的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P$ 是椭圆 $C$ 上的任意一点，且满足 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} > 0$ ，则椭圆离心率的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{2}]$ B、 $(0 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ C、 $(\frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2}]$ D、 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， 1]$

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10. 如图，在三棱锥O-ABC中，三条侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA，OB，OC的长分别为a，b，c. M为△ABC内部及其边界上的任意一点，点M到平面OBC，平面OAC，平面OAB的距离分别为a₀ ， b₀ ， c₀ ，则 $\frac{a_{0}}{a} + \frac{b_{0}}{b} + \frac{c_{0}}{c} =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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二、填空题

11. 只知两条直线 $l_{1} ： x + 2 y + 1 = 0$ ， $l_{2} ： 2 x + m y = 0 (m \in R)$ 平行，则m的值为.

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12. 等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + a_{2} = 12$ ， $a_{3} + a_{4} = 4$ ，则 $a_{5} + a_{6} =$ .

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13. 已知函数 $f (x) = \sin x + a x$ （a∈R），且 $f^{'} (\frac{π}{2}) = 1$ ，则a的值为.

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14. 2020年11月24日我国在中国文昌航天发射场，用长征五号遥五运载火箭成功发射探月工程“嫦娥五号”探测器，开启我国首次地外天体采样返回之旅.2004年，中国正式开展月球探测工程，并命名为“嫦娥工程”.2007年10月24日“嫦娥一号”成功发射升空，探月卫星运行到地月转移轨道之前在以地心 $F$ 为椭圆焦点的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个轨道飞行（如图所示），三个椭圆轨道的长半轴长、半焦距和离心率分别为 $a_{i} ， c_{i} ， e_{i} (i = 1 ， 2 ， 3)$ ，探月卫星沿三个椭圆轨道的飞行周期（环绕轨道一周的时间）分别为16小时，24小时和48小时，已知对于同一个中心天体的卫星，它们运动周期的平方与长半轴长的三次方之比是定值.现有以下命题：① $a_{1} - c_{1} = a_{2} - c_{2} = a_{3} - c_{3}$ ；② $a_{2} < \sqrt[3]{2} a_{1}$ ；③ $a_{3} = \sqrt[3]{9} a_{1}$ ；④ $e_{1} < e_{2} < e_{3}$ .则以上命题为真命题的是.（写出所有真命题的序号）

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15. 如图，平行六面体ABCD－A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，且∠C₁CB＝∠C₁CD＝∠BCD＝60°.CD＝CC₁＝1.则A₁C与平面C₁BD（填“垂直”或“不垂直”）；A₁C的长为.

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16. 把正奇数列按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，则在第n（n∈N^*）组里有个数；第9组中的所有数之和为.

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = x \ln x .$

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点（e， $f (e)$ ）的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间.

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18. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ ，若直线 $l_{1} ： x - y + 2 = 0$ 与圆C相交于A，B两点，且 $| A B | = 2 \sqrt{2}$ .
（I）求圆C的方程.

（II）请从条件①条件②这两个条件中选择一个作为点P的坐标，求过点P与圆C相切的直线l₂的方程.

①（2，－3）；②（1， $\sqrt{3}$ ）.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

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19. 已知 ${a_{n}}$ 是各项均为正数的等比数列， $a_{3} - a_{1} = 60 ， a_{2} = 16 ， n \in N^{*}$ .
（I）求数列{a_n}的通项公式；

（II）若数列{b_n}的通项b_n满足 $2^{b_{n} + 9} = a_{n}$ ，求{b_n}的前n项和S_n的最小值及取得最小值时n的值.

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20. 在如图所示的多面体中， $A D / / B C$ 且 $A D = 2 B C$ ， $A D ⊥ C D$ ， $E G / / A D$ 且 $E G = A D$ ， $C D / / F G$ 且 $C D = 2 F G$ ， $D G ⊥$ 平面ABCD， $D A = D C = D G = 2$ ，M，N分别为棱 $F C ， E G$ 的中点.

（I）求点F到直线EC的距离；

（II）求平面BED与平面EDC夹角的余弦值；

（III）在棱GF上是否存在一点Q，使得平面MNQ//平而EDC？若存在.指出点Q的位置，若不存在，说明理由.

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21. 在平面直角坐标系xOy中，点D，E的坐标分别为 $(- \sqrt{3} ， 0)$ ， $(\sqrt{3} ， 0)$ ，P是动点，且直线DP与直线EP的斜率之积等于 $- \frac{1}{3}$ .
（I）求动点P的轨迹C的方程；

（II）设F是曲线C的左焦点，过点F且斜率为正的直线l与曲线C相交于A，B两点，过A，B分别作直线l的垂线与x轴相交于M，N两点，若 $| M N | = \sqrt{6}$ ，求此时直线l的斜率.

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