北京市昌平区2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-10-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知直线 $l$ 过点 $(2 ， 1)$ 和点 $(4 ， 0)$ ，则直线 $l$ 的斜率为（）

A、-2 B、- $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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2. 下列命题正确的是（）

A、若 $\vec{a} = (1， - 2， - 1)$ ， $\vec{b} = (- 2，4，2)$ ，则 $\vec{a} / / \vec{b}$ B、若 $\vec{a} = (1， - 2， - 1)$ ， $\vec{b} = (- 2，4，2)$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ C、若 $\vec{a} = (1， - 2 ， 2)$ ， $\vec{b} = (2 ， - 4 ， 1)$ ，则 $\vec{a} / / \vec{b}$ D、若 $\vec{a} = (1， - 2 ， 2)$ ， $\vec{b} = (2 ， - 4 ， 1)$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{c}$

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3. 经过点 $(0 ， 1)$ 且与直线 $x + 2 y - 1 = 0$ 垂直的直线的方程为（）

A、 $x + 2 y - 2 = 0$ B、 $x - 2 y + 2 = 0$ C、 $2 x - y + 1 = 0$ D、 $2 x + y - 1 = 0$

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4. 某高校要从经济学院的6名优秀毕业生中选3人分别到西部三个城市参加中国西部经济开发建设，要求每人去一个城市，每个城市去一人，那么不同的分配方案种数为（）

A、20 B、60 C、120 D、240

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5. 在空间直角坐标系中， $O (0 ， 0 ， 0) ， A (2 ， - 5 ， 1) ， B (2 ， - 2 ， 4) ， C (1 ， - 4 ， 5)$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{O C}$ 的值是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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6. 小王同学在完成了高中必修课程的学习后，准备在物理、化学、生物、政治、历史、地理六门课程中选择三门来学习，他已经选择了物理，那么他选择另外两门的不同选法种数为（）

A、10 B、15 C、20 D、30

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7. 甲、乙两个车间生产同一种产品的合格率分别为 $90%，80%$ ，检验员每天都要按照3：2的比例分别从甲、乙两个车间抽取部分产品进行检验.从被抽检的产品中任选一件，则选到合格品的概率为（）

A、84% B、86% C、88% D、90%

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8. 某班要从甲、乙、丙、丁四名同学中选出一人参加学校的投篮比赛，根据以往的数据，得到这四名同学在连续5次投篮中，投中次数 $X$ 的概率分布可以分别用下列四个图直观表示，如果从平均水平和发挥稳定性角度来考虑，应该选择参加比赛的同学为（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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9. 过抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 焦点 $F$ 的直线 $l$ 交抛物线于 $A ， B$ 两点，交准线于点 $C$ ．若 $\vec{C B} = 2 \vec{B F}$ ，则直线 $A B$ 的斜率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\pm \sqrt{3}$ C、2 D、±2

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10. 在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，若点 $P$ 是棱上一点，则满足 $| P B | + | P D_{1} | = 2$ 的点 $P$ 的个数为（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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二、填空题

11. 在射击训练中，某射击运动员一次射击命中的概率为 $\frac{9}{10}$ ，连续两次射击命中的概率为 $\frac{4}{5}$ .已知他第一发子弹命中，则他第二发子弹命中的概率为.

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12. 某社区5名工作人员要到4个小区进行“爱分类”活动的宣传，要求每名工作人员只去一个小区，每个小区至少去一名工作人员，则不同的安排方法共有种.

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13. 在平面直角坐标系xOy中，若双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的一条渐近线方程为 $y = \sqrt{3} x$ ，则该双曲线的离心率是．

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14. 已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， $A B = 2 ， A D = 1 ， A A_{1} = \sqrt{3}$ .在所有的面对角线所在直线中，与平面 $A B B_{1} A_{1}$ 所成的角为 $\frac{π}{6}$ 的面对角线可以是直线.(写出符合题意的一条直线即可)

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15. 在平面直角坐标系中，动点 $M (x ， y)$ 到两坐标轴的距离之和等于它到点 $(1 ， 1)$ 的距离．记动点 $M$ 的轨迹为曲线 $E$ .给出下列四个结论：
① 曲线 $E$ 关于坐标原点对称；

② 曲线 $E$ 关于直线 $y = x$ 对称；

③ 曲线 $E$ 与 $x$ 轴非负半轴， $y$ 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于 $\frac{1}{2}$ ；

④ 曲线 $E$ 上不存在横坐标大于1的点.

其中，所有正确结论的序号是．

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16. 已知 ${(3 x - 1)}^{n}$ 的展开式中所有项的系数和为 $64$ ，则 $n =$ ；展开式中 $x^{2}$ 的系数是

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三、解答题

17. 已知两点 $D (4 ， 2) ， M (3 ， 0)$ 及圆 $C ： {(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 5$ . $l$ 为经过点 $M$ 的一条动直线.

(1)、若直线 $l$ 经过点 $D$ ，求证：直线 $l$ 与圆 $C$ 相切；

(2)、若直线 $l$ 与圆 $C$ 相交于两点 $A ， B ，$ 从下列条件中选择一个作为已知，求 $△ A B D$ 的面积．
条件①：直线 $l$ 平分圆 $C$ ；条件②：直线 $l$ 的斜率为-3．

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18. 已知在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B / / C D$ ， $P A = A D = C D = \frac{1}{2} A B = 1$ .

(1)、求证： $C D ⊥ P D$ ；

(2)、求二面角 $A - P B - C$ 的余弦值；

(3)、求点 $A$ 到平面 $P B C$ 的距离.

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19. 近年来，随着青年志愿服务活动蓬勃发展，越来越多的大学生参加到志愿服务中来，大学生志愿者已经发展成为青年志愿者队伍中最活跃、最积极、最有影响力的一个群体.大学生志愿服务的范围主要包括：帮困扶贫、支教扫盲、社区建设、环境保护、普法宣传、大型赛会、应急救助、海外服务等.为了解A ， B ， C ， D ， E ， F这六所高校的大学生志愿者参加帮困扶贫的情况，从这六所高校随机抽取了部分志愿者，统计数据如下：

学校	高校A	高校B	高校C	高校D	高校E	高校F
志愿者人数	400	500	200	800	1000	600
帮困扶贫志愿者所占百分比	10%	8%	5%	12%	6%	11%

(1)、从被抽样的志愿者中任选1人，求此人是来自“高校E” 的帮困扶贫志愿者的概率；

(2)、从被抽样的来自“高校B”和“高校E” 的帮困扶贫志愿者中任选2人接受采访.

①设 $X$ 为这2个志愿者中来自“高校E”的人数，求随机变量 $X$ 的分布列及数学期望；

②假设表格中六所高校的帮困扶贫志愿者所占百分比均提高1%，记 $Y$ 为这2个志愿者中来自于“高校E”的志愿者人数，试比较随机变量 $X ， Y$ 的数学期望 $E (X)$ 和 $E (Y)$ 的大小.（只需写出结论）

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20. 已知在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B ⊥ A C$ ，且 $A B = A C = 1$ ， $A A_{1} = \sqrt{3}$ ，点 $D$ 是 $B C$ 的中点.

(1)、求证： $A_{1} B / /$ 平面 $A C_{1} D$ ；

(2)、在棱 $C C_{1}$ 上是否存在一点 $M$ ，使 $B_{1} M ⊥$ 平面 $A C_{1} D$ ？若存在，指出点 $M$ 的位置并证明，若不存在，说明理由.

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21. 已知椭圆 $G$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{4} = 1 (a > 2)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3} .$ 设过点 $(1 ， 0)$ 的直线 $l$ 交椭圆 $G$ 于 $M$ ， $N$ 两点．

(1)、求椭圆 $G$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 的斜率为2，求 $| M N |$ ；

(3)、设 $A$ 为椭圆的左顶点， $A M ， A N$ 分别交 $y$ 轴于点 $P ， Q$ ，在 $x$ 轴上是否存在点 $T ，$ 使得以 $P Q$ 为直径的圆恒过点 $T$ ？如果存在，求出点 $T$ 的坐标；如果不存在，说明理由．

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