安徽省宿州市砀山重点高中2021-2022学年高二上学期第一次质量检测数学试题

试卷更新日期：2021-10-21 类型：月考试卷

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一、选择题

1. 角 $- \frac{29}{6} π$ 的终边所在的象限是（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角是（）

A、0 B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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3. 已知平面 $α$ 、 $β$ 和直线m、l ，要使“若 $α ⊥ β$ ， $α \cap β = m$ ， $l ⊥ m$ ，则 $l ⊥ β$ ”正确，则须添加条件（）

A、 $l ⊥ α$ B、 $l \subset α$ C、l与 $α$ 相交但不垂直 D、l与m为异面直线

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4. 如图，在空间四边形 $A B C D$ 中，设 $E ， F$ 分别是 $B C$ ， $C D$ 的中点，则 $\vec{A D} + \frac{1}{2} (\vec{D B} + \vec{D C}) =$ （）

A、 $\vec{A D}$ B、 $\vec{F A}$ C、 $\vec{A E}$ D、 $\vec{E F}$

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5. 中国古代数学专著《九章算术》中对两类空间几何体有这样的记载：①“堑堵”，即底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；②“阳马”，即底面为矩形，且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一“堑堵” $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ，如图所示， $A C ⊥ B C$ ，则其中“阳马” $B - A_{1} A C C_{1}$ 与“堑堵” $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积之比为（）

A、1：2 B、2：3 C、3：4 D、4：5

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6. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x - \frac{π}{4}) (ω > 0)$ 部分图象大致如图所示，则 $f (x)$ 的最小正周期为（）

A、 $\frac{3 π}{2}$ B、 $\frac{9 π}{8}$ C、 $\frac{5 π}{4}$ D、 $\frac{9 π}{2}$

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7. 在空间直角坐标 $O - x y z$ 中， $O$ 为坐标原点，若点 $P (1 ， - 3 ， 2)$ 在平面 $x O z$ 上的投影点为B，则线段OB的长度为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $\sqrt{14}$ D、3

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8. 已知顶点在原点，始边在x轴非负半轴的锐角 $α$ 绕原点逆时针转 $\frac{π}{3}$ 后，终边交单位圆于 $P (x ， \frac{\sqrt{3}}{3})$ ，则 $\cos α$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3} - 3 \sqrt{2}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{2} - 1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3} + 3 \sqrt{2}}{6}$ D、 $\frac{3 - \sqrt{6}}{6}$

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9. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 为正方形，
且 $P D = A B = 1$ ， $G$ 为 $Δ A B C$ 的重心，则 $P G$ 与底面 $A B C D$ 所成的角的正弦值等于（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{17}}{17}$ C、 $\frac{3 \sqrt{17}}{17}$ D、 $\frac{2 \sqrt{34}}{17}$

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10. 已知 $A ， B$ 是球 $O$ 的球面上两点， $∠ A O B = \frac{π}{6}$ ， $P$ 为该球面上的动点，若三棱锥 $O - P A B$ 的体积的最大值为 $\frac{2}{3}$ ，则球 $O$ 的表面积为（）

A、12π B、16π C、24π D、36π

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11. 在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，过点C做直线l ，使得直线l与直线BA₁和B₁D₁所成的角均为 $70^{\circ}$ ，则这样的直线l有（）

A、1条 B、2条 C、4条 D、无数条

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12. 已知棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，点 $A$ 在空间直角坐标系 $O - x y z$ 的 $x$ 轴上移动，点 $C$ 在平面 $y O z$ 上移动，则 $\vec{O C_{1}} \cdot \vec{O B}$ 的最大值是（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2} + 1$ C、 $4 + 4 \sqrt{2}$ D、6

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二、填空题

13. 已知两个平面 $α$ ， $β$ 的法向量分别是 $\vec{n_{1}} = (1 ， x ， 2)$ 和 $\vec{n_{2}} = (3 ， 6 ， y)$ ，若 $α // β$ ，则 $x + y =$ .

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14. 某同学在参加魔方实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为 $8 \sqrt{3}$ 的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合)，若其中一个截面圆的周长为8π，则该球的半径是.

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15. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 为线段 $D_{1} B$ 上的动点， $M ， N$ 分别为棱 $B C ， A B$ 的中点，若 $D P / /$ 平面 $B_{1} M N$ ，则 $\frac{D_{1} P}{D_{1} B} =$ ．

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16. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，E ， F分别为 $A D$ ， $A A_{1}$ 的中点，则以下说法错误的是（写序号）

①N为 $B_{1} C_{1}$ 上一点，则平面 $E F C$ 与平面 $C B N$ 所成二面角的大小与点N位置无关

② $B B_{1}$ 存在上一点P ，使得 $C_{1} P ⊥$ 平面 $C E F$

③ 三棱锥 $B - C E F$ 和 $D - F B_{1} C$ 体积相等

④ $A_{1} D_{1}$ 上存在一点M ，使得 $∠ C F M = 90 °$

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三、解答题

17. 已知 $\vec{a} = (2 \sin x ， \cos^{2} x)$ ， $\vec{b} = (\sqrt{3} \cos x ， 2)$ ， $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最大值和最小值．

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18. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $c \cos B + b \cos C = 3 a \cos B$ ．

(1)、求 $\cos B$ 的值；

(2)、若 $| \overset{⇀}{C A} - \overset{⇀}{C B} | = 2$ ， $Δ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{2}$ ，求边 $b$ ．

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19. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A D / / B C$ ， $P A = A B = A D = 1 ， B C = 2$ ．

(1)、求证： $A D ⊥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求二面角 $P - C D - A$ 的余弦值．

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20. 如图，多面体 $A B C D E F$ 中， $D E ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是菱形， $A B = 2 ， ∠ B A D = 60 °$ ，四边形 $B D E F$ 是正方形.

(1)、求证： $C F$ $/ /$ 平面 $A E D$ ；

(2)、求直线 $A F$ 与平面 $E C F$ 所成角的正弦值；

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21. 如图，已知 $Δ A B C$ 为正三角形，D为AB的中点，E在AC上，且 $A E = \frac{1}{4} A C$ ，现沿DE将 $Δ A D E$ 折起，折起过程中点A仍然记作点A ，使得平面 $A D E ⊥$ 平面BCED ，在折起后的图形中.

(1)、在AC上是否存在点M ，使得直线 $M E //$ 平面ABD.若存在，求出点M的位置；若不存在，说明理由.

(2)、求平面ABD与平面ACE所成锐二面角的余弦值.

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22. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $A C = B C = 2 ， ∠ A C B = 120 °$ ．O为 $Δ A B C$ 的外心， $P O ⊥$ 平面 $A B C$ ，且 $P O = \sqrt{6}$ ．

(1)、求证： $B O / /$ 平面 $P A C$ ；

(2)、设平面 $P A O \cap$ 平面 $P B C = l$ ，若点M在线段 $P C$ 上运动，且 $\vec{P M} = λ \vec{P C}$ ，当直线l与平面 $A B M$ 所成角取最大值时，求 $λ$ 的值.

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