浙江省精诚联盟2021-2022学年高二上学期数学10月联考试卷

试卷更新日期：2021-10-20 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知平面 $α$ 的法向量为 $\vec{a} = (2 ， 3 ， - 1)$ ，平面 $β$ 的法向量为 $\vec{b} = (1 ， 0 ， k)$ ，若 $α ⊥ β$ ，则 $k$ 等于（）

A、1 B、-1 C、2 D、-2

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2. 设直线 $l$ 的方程为 $3 x + 4 y + 1 = 0$ ，直线 $m$ 的方程为 $6 x + 8 y + 3 = 0$ ，则直线 $l$ 与 $m$ 的距离为（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{1}{10}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{3}{10}$

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3. 圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} = 4$ 关于直线 $l$ ： $x + y - 1 = 0$ 对称的圆的方程为（）

A、 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ B、 ${(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4$ C、 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ D、 ${(x + 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 4$

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4. “ $a = 1$ ”是“直线 $l_{1}$ ： $a x + 2 y - 8 = 0$ 与直线 $l_{2}$ ： $x + (a + 1) y + 4 = 0$ 平行”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而充分不条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知△ $A B C$ 的顶点 $A (2 ， 0)$ ， $B (1 ， 2)$ ，且 $A C = B C$ ，则△ $A B C$ 的欧拉线的方程为（）

A、 $x - 2 y - 4 = 0$ B、 $2 x + y - 4 = 0$ C、 $4 x + 2 y + 1 = 0$ D、 $2 x - 4 y + 1 = 0$

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6. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 4$ ， $B C = 2$ ， $C C_{1} = 2$ ， $E$ 是 $C D$ 的中点，求 $D$ 到面 $D_{1} E B$ 的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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7. 若直线 $k x - k + y + 1 = 0$ 与直线 $x + 3 y - 3 = 0$ 交点在第一象限，则实数 $k$ 的取值范围为（）

A、 $(- 2 ， \frac{1}{2})$ B、 $(- \frac{1}{2} ， 0)$ C、 $(- \infty ， - \frac{1}{2}) \cup (2 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 2) \cup (\frac{1}{2} ， + \infty)$

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8. 已知圆 $C$ 是以点 $M (2 ， 2 \sqrt{3})$ 和点 $N (6 ， - 2 \sqrt{3})$ 为直径的圆，点 $P$ 为圆 $C$ 上的动点，若点 $A (2 ， 0)$ ，点 $B (1 ， 1)$ ，则 $2 | P A | - | P B |$ 的最大值为（）

A、 $\sqrt{26}$ B、 $4 + \sqrt{2}$ C、 $8 + 5 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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二、多选题

9. 以下说法正确的是（）

A、设 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 是两个空间向量，则 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 一定共面 B、设 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 是两个空间向量，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$ C、设 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ 是三个空间向量，则 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ 一定不共面 D、设 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ 是三个空间向量，则 $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$

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10. 下列说法正确的是（）

A、直线 $y = a x - 2 a + 4 (a \in R)$ 必过定点 $(2 ， 4)$ B、直线 $y + 1 = 3 x$ 在 $y$ 轴上的截距为1 C、直线 $x + \sqrt{3} y + 1 = 0$ 的倾斜角为120° D、过点 $(- 2 ， 3)$ 且垂直于直线 $x - 2 y + 3 = 0$ 的直线方程为 $2 x + y + 1 = 0$

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11. 已知圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 4$ 和圆 $M$ ： $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + 4 = 0$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点，下列说法正确的是（）

A、圆 $M$ 的圆心为 $(1 ， - 2)$ ，半径为1 B、直线 $A B$ 的方程为 $x - 2 y - 4 = 0$ C、线段 $A B$ 的长为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、取圆 $M$ 上点 $C (a ， b)$ ，则 $2 a - b$ 的最大值为 $4 + \sqrt{5}$

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12. 如图（1）是一副直角三角板.现将两个三角板沿它们的公共边翻折成图（2）的四面体 $A B C D$ ，设 $A D$ ， $A C$ 与面 $B C D$ 所成角分别为 $α$ ， $β$ ，在翻折的过程中，下列叙述正确的是（）

A、存在某个位置使得 $A D ⊥ B C$ B、若 $B C = 10$ ，当二面角 $A - B C - D = 30 °$ 时，则 $A D = \frac{10 \sqrt{3}}{3}$ C、当 $A$ 在面 $B C D$ 的射影在三角形 $B C D$ 的内部（不含边界），则 $α < β$ D、异面直线 $A D$ 与 $B C$ 所成角小于 $60 °$

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三、填空题

13. 已知两条异面直线的方向向量分别是 $\vec{u} = (1 ， 1 ， 2)$ ， $\vec{v} = (1 ， - 1 ， 1)$ ，则这两条异面直线所成角的余弦值为.

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14. 圆心在第一象限，半径为1，且同时与 $x$ ， $y$ 轴相切的圆的标准方程为.

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15. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B A C = \frac{π}{2}$ ， $A B = A C = A A_{1} = 1$ .已知 $D$ 和 $E$ 分别为 $A_{1} B_{1}$ 和 $C C_{1}$ 的中点， $G$ 与 $F$ 分别为线段 $A C$ 和 $A B$ 上的动点（不包括端点）.若 $D G ⊥ E F$ ，则线段 $G F$ 的长度的取值范围为.

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16. 已知圆 $C$ ： ${(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 1$ ，设 $A$ ， $B$ 为直线 $l$ ： $3 x - 4 y + 8 = 0$ 上的两个动点，若对于圆 $C$ 上的任意一点 $M$ ，满足 $∠ A M B \geq \frac{π}{2}$ ，则 $| A B |$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 在三角形 $A B C$ 中，已知点 $A (4 ， 0)$ 、 $B (- 3 ， 4)$ 、 $C (1 ， 2)$ .

(1)、求 $B C$ 边上中线的方程；

(2)、若某一直线过 $B$ 点，且 $x$ 轴上截距是 $y$ 轴上截距的2倍，求该直线的一般式方程.

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18. 已知平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，底面是正方形， $A D = A B = 2$ ， $A A_{1} = 1$ ， $∠ A_{1} A B = ∠ D A A_{1} = 60 °$ ， $\vec{A_{1} C_{1}} = 3 \vec{N C_{1}}$ ， $\vec{D_{1} B} = 2 \vec{M B}$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ .

(1)、试用 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ 表示 $\vec{A N}$ ；

(2)、求 $M N$ 的长度.

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19. 如图，在斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，已知△ $A B C$ 为正三角形，四边形 $A C C_{1} A_{1}$ 是菱形， $D$ ， $E$ 分别是 $A C$ ， $C C_{1}$ 的中点，平面 $A A_{1} C_{1} C ⊥$ 平面 $A B C$ .

(1)、求证： $A_{1} C ⊥$ 平面 $B D E$ ；

(2)、若 $∠ C_{1} C A = 60 °$ ，在线段 $D B_{1}$ 上是否存在点 $M$ ，使得 $A M / /$ 平面 $B D E$ ？若存在，求 $\frac{D M}{D B_{1}}$ 的值，若不存在，请说明理由.

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20. 某风暴中心位于某海礁A处，距离风暴中心A正西方向 $150 km$ 的B处有一艘轮船，正以北偏东 $θ$ （ $θ$ 为锐角）角方向航行，速度 $30 km/h$ .已知距离风暴中心 $75 \sqrt{3} km$ 以内的水域受其影响.

(1)、若轮船不被风暴影响，求角 $θ$ 的正切值的最大值？

(2)、若轮船航行方向为北偏东 $45 °$ ，求轮船被风暴影响持续多少时间？

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21. 如图所示，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 2 B C = 8 \sqrt{3}$ ， $∠ D A B = \frac{π}{3}$ ， $E$ 为边 $A B$ 的中点，将△ $A D E$ 沿直线 $D E$ 翻折为△ $A' D E$ ，若 $F$ 为线段 $A' C$ 的中点.在△ $A D E$ 翻折过程中，

(1)、求证： $B F / /$ 面 $A' D E$ ；

(2)、若二面角 $A' - D E - C = 60 °$ ，求 $A' C$ 与面 $A' E D$ 所成角的正弦值.

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22. 已知两个定点 $A (4 ， 0)$ ， $B (1 ， 0)$ ，动点 $P$ 满足 $| P A | = 2 | P B |$ ，设动点 $P$ 的轨迹为曲线 $E$ .

(1)、求曲线 $E$ 的方程；

(2)、设曲线 $E$ 分别交 $x$ 轴， $y$ 轴正方向于 $C$ ， $D$ 两点，（ $P$ 为异于 $C$ ， $D$ 的曲线 $E$ 上的动点）.直线 $P C$ 交 $y$ 轴于 $N$ 点，直线 $P D$ 交 $x$ 轴于 $M$ 点，试探究 $| D N | \cdot | C M |$ 是否为定值？

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