山东省2021-2022学年高二上学期数学10月“山东学情”联考试卷（A）

试卷更新日期：2021-10-20 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知不共线的两个向量 $\vec{m}$ 、 $\vec{n}$ ，若 $\vec{a} = \vec{m} + \vec{n}$ 、 $\vec{b} = \vec{m} - \vec{n}$ 、 $\vec{c} = \vec{m}$ ，则（）

A、 $\vec{a}$ 、 $\vec{c}$ 共线 B、 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ 共面 C、 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ 共线 D、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ 共线

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2. 已知 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 为空间中的两个非零向量，模长均为2，它们的夹角为45°，那么 $| \vec{a} + \sqrt{2} \vec{b} | =$ （）

A、20 B、 $\sqrt{5}$ C、2 D、 $2 \sqrt{5}$

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3. 已知 $\vec{a} = (1 ， 1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (- 2 ， 0 ， 1)$ ， $\vec{c} = (\frac{1}{2} ， - 1 ， 1)$ ，下列等式正确的个数（）
① $| \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} | = | \vec{a} - \vec{b} - \vec{c} |$ ；② $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c})$ ；③ ${(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})}^{2} = {\vec{a}}^{2} + {\vec{b}}^{2} + {\vec{c}}^{2}$ ④ $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$

A、2个 B、1个 C、4个 D、3个

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4. 已知空间四点 $A (1 ， 3 ， 4)$ ， $B (3 ， 1 ， 2)$ ， $C (7 ， - 5 ， 3)$ ， $D (- 1 ， 3 ， z)$ 共面，则 $z$ 的值为（）

A、1 B、3 C、11 D、5

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5. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是平行四边形， $E$ 为 $P D$ 的三等分点 $(\frac{D E}{D P} = \frac{1}{3})$ ，若 $\vec{D P} = \vec{a}$ ， $\vec{D A} = \vec{b}$ ， $\vec{D C} = \vec{c}$ ，则用基底 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 表示向量 $\vec{B E}$ 为（）

A、 $\frac{2}{3} \vec{a} - \vec{b} - \vec{c}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{a} - \vec{b} - \vec{c}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$ D、 $\frac{1}{3} \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$

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6. 在直三棱柱 $A B C - A^{'} B^{'} C^{'}$ 中，侧棱长为2，底面是边长为2的正三角形，则异面直线 $A B^{'}$ 与 $B C^{'}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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7. 如图，在一个45°的二面角的棱上有两个点 $A$ ， $B$ ，线段 $A C$ ， $B D$ 分别在这个二面角的两个半平面内，并且都垂直于棱 $A B$ ，且 $A B = 2$ ， $A C = 1$ ， $B D = 2 \sqrt{2}$ ，则 $C D$ 的长为（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{7}$ D、3

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8. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1， $E$ 是 $D D_{1}$ 的中点，则（）

A、直线 $CE//$ 平面 $A_{1} B D$ B、 $C E ⊥ B D_{1}$ C、三棱锥 $C_{1} - B_{1} CE$ 的体积为 $\frac{1}{6}$ D、直线 $B_{1} E$ 与平面 $C D D_{1} C_{1}$ 所成的角正切值为3

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二、多选题

9. 设 ${\vec{m} ， \vec{n} ， \vec{t}}$ 是空间的一组基底，则下列结论正确的是（）

A、基底 ${\vec{m} ， \vec{n} ， \vec{t}}$ 中的向量可以为任意向量. B、空间中任一向量 $\vec{a}$ ，存在唯一有序实数组 $(x ， y ， z)$ ，使 $\vec{a} = x \vec{m} + y \vec{n} + z \vec{t}$ C、若 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ， $\vec{n} ⊥ \vec{t}$ ，则 $\vec{m} ⊥ \vec{t}$ D、 ${\vec{m} + 2 \vec{n} ， \vec{n} + 2 \vec{t} ， \vec{t} + 2 \vec{m}}$ 也可以构成空间的一组基底.

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10. 给出下列命题，其中正确的命题为（）

A、若 $\vec{O P} = \vec{E F}$ ，则一定有点 $O$ 与点 $E$ 重合，点 $P$ 与点 $F$ 重合. B、若 $〈 \vec{O A} ， \vec{O B} 〉$ 为钝角，则 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} < 0$ C、若 $\vec{m}$ 为直线 $m$ 的方向向量，则 $λ \vec{m} (λ \in R$ 且 $λ \neq 0)$ ，也是直线 $m$ 的方向向量 D、非零向量 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ ， $\vec{t}$ 满足 $\vec{m}$ 与 $\vec{n}$ ， $\vec{n}$ 与 $\vec{t}$ ， $\vec{m}$ 与 $\vec{t}$ 都是共面向量，则 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ ， $\vec{t}$ 必共面.

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11. 如图所示，长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，底面是边长为1的正方形，高为2， $E$ 是 $D D_{1}$ 的中点，则（）

A、 $C E // A_{1} B$ B、平面 $B_{1} C E //$ 平面 $A_{1} B D$ C、三棱锥 $C - B_{1} C_{1} E$ 的体积为 $\frac{1}{3}$ D、三棱锥 $C_{1} - B_{1} C D_{1}$ 的外接球的表面积为 $6 π$

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12. 如图所示，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，其中 $A B = A D = \sqrt{2}$ ， $A A_{1} = 1$ ， $∠ D A B = 60 °$ ， $∠ D A A_{1} = ∠ B A A_{1} = 45 °$ ，下列说法中正确的是（）

A、 $A C_{1} = \sqrt{11}$ B、 $A C_{1} ⊥ D B$ C、向量 $\vec{B_{1} C}$ 与 $\vec{A A_{1}}$ 的夹角是45° D、 $B D_{1}$ 与 $A C$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{3}$

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三、填空题

13. $\vec{a} = (1 ， 1 ， 1)$ 是平面 $β$ 的一个法向量，如果直线 $m$ 与平面 $β$ 垂直，则直线 $m$ 的单位方向向量 $\vec{b} =$ .

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14. 设 $m$ ， $n \in R$ 向量 $\vec{b} = (m ， 0 ， 1)$ ， $\vec{a} = (\frac{1}{2} ， n ， \frac{1}{2})$ ， $\vec{c} = (1 ， - 2 ， 1)$ ，且 $\vec{b} ⊥ \vec{c}$ ， $\vec{a} // \vec{c}$ ，则 $| 2 \vec{a} + \vec{b} | =$ .

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15. 已知点 $A (1 ， - 1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0 ， 0)$ ， $C (3 ， 2 ， 0)$ ， $D (4 ， 3 ， \sqrt{2})$ ，则向量 $\vec{C D}$ 在向量 $\vec{A B}$ 上的投影向量的模为.

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16. 已知 $△ A B C$ 是正三角形， $O A ⊥$ 平面 $A B C$ ，且 $O A = A C = 2$ ，则 $O B$ 与平面 $O A C$ 所成角的余弦值为.若点 $A$ 关于直线 $O C$ 的对称点为 $A^{'}$ ，则直线 $A A^{'}$ 与 $B C$ 所成角的余弦值为.

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四、解答题

17. 已知空间内不重合的四点，坐标分别为 $A (- 1 ， 1 ， 2)$ ， $B (1 ， 1 ， - 2)$ ， $C (1 ， 0 ， 2)$ ， $D (m + 1 ， m + n ， n + 1)$

(1)、若 $\vec{A B} // \vec{C D}$ ，求点 $D$ 的坐标；

(2)、若 $C D$ 与平面 $A B C$ 垂直，求 $m$ 和 $n$ 的值.

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18. 已知 $\vec{m} = (1 ， 2 ， 4)$ ， $\vec{n} = (- 1 ， 1 ， 2)$ .

(1)、求 $\cos < \vec{m} ， \vec{n} >$ 的值.

(2)、若 $(k \vec{m} + \vec{n}) // (\vec{m} + 2 \vec{n})$ ，求实数 $k$ 的值.

(3)、若 $(k \vec{m} + \vec{n}) ⊥ (\vec{m} + 2 \vec{n})$ ，求实数 $k$ 的值.

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19. 如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ ，底面是矩形，且 $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E$ 、 $F$ 分别是 $A B$ 、 $P C$ 的中点.（用向量法解决下列问题）

(1)、求证： $\overset{⇀}{E F}$ ， $\vec{A P}$ ， $\vec{A D}$ 共面.

(2)、求证： $E F ⊥ A B$

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20. 如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面四边形 $A B C D$ 为菱形， $E$ ， $F$ 分别为 $A A_{1}$ ， $C C_{1}$ 的三等分点 $(\frac{C_{1} F}{C C_{1}} = \frac{A E}{A A_{1}} = \frac{1}{3})$ .（用向量法解决下列问题）

(1)、证明： $B$ ， $F$ ， $D_{1}$ ， $E$ 四点共面；

(2)、若 $A B = 4$ ， $∠ B A D = 60 °$ ，求点 $F$ 到平面 $B B_{1} D_{1}$ 的距离.

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21. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $A B C$ 是以 $∠ C$ 为直角的等腰直角三角形， $B C = A C = 2$ ， $A A_{1} = 3$ ， $D$ 为 $A C$ 的中点

(1)、求证： $A B_{1} //$ 平面 $B D C_{1}$ ；

(2)、求平面 $C_{1} B D$ 与平面 $C B D$ 夹角的余弦值.

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22. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B / / D C$ ， $A B ⊥ A D$ ， $C D = A D = \frac{1}{2} A B$ ， $∠ P A D = 45 °$ ， $E$ 是 $P A$ 的中点， $G$ 在线段 $A B$ 上，且满足 $C G ⊥ B D$ .

(1)、求证： $D E / /$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求平面 $P G C$ 与平面 $B P C$ 夹角的余弦值.

(3)、在线段 $P A$ 上是否存在点 $H$ ，使得 $G H$ 与平面 $P G C$ 所成角的正弦值是 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，若存在，求出 $A H$ 的长；若不存在，请说明理由.

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