辽宁省沈阳市郊联体2021-2022学年高二上学期数学10月月考试卷

试卷更新日期：2021-10-20 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 下列说法正确的是（）

A、若 $\vec{b}$ 是 $\vec{a}$ 的相反向量，则 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ B、若 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的长度相等，方向相同 C、若 $\vec{A B} = λ \vec{C D} (λ \neq 0)$ ，则 $A ， B ， C ， D$ 必共线 D、在四边形 $A B C D$ 中，一定有 $\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C}$

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2. 若 $\vec{a} = (2 ， 2 ， 0) ， \vec{b} = (1 ， 2 ， z) ， 〈 \vec{a} ， \vec{b} 〉 = \frac{π}{3}$ ，则 $z$ 等于（）

A、 $\sqrt{22}$ B、 $- \sqrt{13}$ C、 $\pm \sqrt{22}$ D、 $\pm \sqrt{13}$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (- 2 ， - 1 ， 3)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， 2 ， 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - λ \vec{b})$ ，则实数 $λ$ 的值为（）

A、-2 B、 $\frac{14}{3}$ C、 $\frac{14}{5}$ D、2

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4. 已知正四面体 $A - B C D$ 的棱长为1，且 $\vec{A E} = 2 \vec{E B} ， \vec{A F} = 2 \vec{F D}$ ，则 $\vec{E F} \cdot \vec{D C} =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- \frac{2}{3}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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5. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， - 1 ， 3)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， 4 ， - 2)$ ， $\vec{c} = (7 ， 5 ， λ)$ ，若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 共面，则实数 $λ =$ （）

A、 $\frac{62}{7}$ B、 $\frac{64}{7}$ C、 $\frac{60}{7}$ D、 $\frac{65}{7}$

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6. 如图所示，已知空间四边形ABCD ，连接AC ， BD ， M ， G分别是BC ， CD的中点，则 $\vec{A B}$ ＋ $\frac{1}{2} \vec{B C}$ ＋ $\frac{1}{2} \vec{B D}$ 等于（）

A、 $\vec{A D}$ B、 $\vec{G A}$ C、 $\vec{A G}$ D、 $\vec{M G}$

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7. 已知向量 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 是空间向量的一组基底，向量 ${\vec{a} + \vec{b} ， \vec{a} - \vec{b} ， \vec{c}}$ 是空间向量的另外一组基底，若一向量 $\vec{p}$ 在基底 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 下的坐标为 $(1 ， 2 ， 3)$ ，则向量 $\vec{p}$ 在基底 ${\vec{a} + \vec{b} ， \vec{a} - \vec{b} ， \vec{c}}$ 下的坐标为（）

A、 $(\frac{1}{2} ， \frac{3}{2} ， 3)$ B、 $(\frac{3}{2} ， - \frac{1}{2} ， 3)$ C、 $(3 ， - \frac{1}{2} ， \frac{3}{2})$ D、 $(- \frac{1}{2} ， \frac{3}{2} ， 3)$

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8. 正三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A = P B = P C$ ，M为棱PA上的动点，令 $α$ 为BM与AC所成的角， $β$ 为BM与底面ABC所成的角， $γ$ 为二面角 $M - A C - B$ 所成的角，则（）

A、 $2 \cos α > \cos β$ B、 $2 \cos α < \cos β$ C、 $2 \cos γ > \cos β$ D、 $2 \cos γ < \cos β$

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二、多选题

9. 已知 $\vec{v_{1}} ， \vec{v_{2}}$ 分别为直线的 $l_{1} ， l_{2}$ 方向向量（ $l_{1} ， l_{2}$ 不重合）， $\vec{n_{1}} ， \vec{n_{2}}$ 分别为平面 $α ， β$ 的法向量（ $α ， β$ 不重合），则下列说法中，正确的是（）

A、 $\vec{v_{1}} / / \vec{v_{2}} \Leftrightarrow l_{1} ⊥ l_{2}$ B、 $\vec{v_{1}} ⊥ \vec{v_{2}} \Leftrightarrow l_{1} ⊥ l_{2}$ C、 $\vec{n_{1}} / / \vec{n_{2}} \Leftrightarrow α ⊥ β$ D、 $\vec{n_{1}} ⊥ \vec{n_{2}} \Leftrightarrow α ⊥ β$

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10. 已知点 $P$ 是平行四边形 $A B C D$ 所在的平面外一点，如果 $\vec{A B} = (2 ， - 1 ， - 4)$ ， $\vec{A D} = (4 ， 2 ， 0)$ ， $\vec{A P} = (- 1 ， 2 ， - 1)$ ．对于结论：① $A P ⊥ A B$ ；② $A P ⊥ A D$ ；③ $\vec{A P}$ 是平面 $A B C D$ 的法向量；④ $\vec{A P} //$ $\vec{B D}$ ．其中正确的是（）

A、① B、② C、③ D、④

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11. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，下列说法中正确的是（）

A、 ${(\vec{A_{1} A} + \vec{A_{1} D_{1}} + \vec{A_{1} B_{1}})}^{2} = 3 {\vec{A_{1} B_{1}}}^{2}$ B、 $\vec{A_{1} C} \cdot (\vec{A_{1} B_{1}} - \vec{A_{1} A}) = 0$ C、向量 $\vec{A D_{1}}$ 与向量 $\vec{A_{1} B}$ 的夹角是 $60 °$ D、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积为 $| \vec{A B} \cdot \vec{A A_{1}} \cdot \vec{A D} |$

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12. 将正方形 $A B C D$ 沿对角线 $B D$ 折成直二面角 $A - B D - C$ ，有如下四个结论：① $A C ⊥ B D$ ；② $△ A C D$ 是等边三角形；③ $A B$ 与平面 $B C D$ 所成的角为60°；④ $A B$ 与 $C D$ 所成的角为 $60^{\circ}$ .其中正确的结论有（）

A、① B、② C、③ D、④

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三、填空题

13. 已知 $\vec{a} = (- 2 ， 3 ， m)$ ， $\vec{b} = (2 ， - 1 ， 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数m的值为．

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14. 设动点 $P$ 在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的对角线 $B D_{1}$ 上，记 $\frac{D_{1} P}{D_{1} B} = λ$ ，当 $∠ A P C$ 为锐角时， $λ$ 的取值范围是．

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15. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F分别为线段 $A_{1} B_{1}$ ，AB的中点，O为四棱锥 $E - C_{1} D_{1} D C$ 的外接球的球心，点M，N分别是直线 $D D_{1}$ ，EF上的动点，记直线OC与MN所成的角为 $θ$ ，则当 $θ$ 最小时， $\tan θ =$ .

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16. 如图在三棱锥 $S - A B C$ 中， $S A = S B = S C$ ，且 $∠ A S B = ∠ B S C = ∠ C S A = \frac{π}{2}$ ， $M 、 N$ 分别是 $A B$ 和 $S C$ 的中点．则异面直线 $S M$ 与 $B N$ 所成的角的余弦值为，直线 $S M$ 与面 $S A C$ 所成角大小为.

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四、解答题

17. 已知 $A (1 ， 2 ， - 1) ， B (2 ， 0 ， 2)$ .

(1)、求 $| \vec{O A} - \vec{O B} |$

(2)、在 $x$ 轴上求一点 $P ，$ 使 $| P A | = | P B |$ ；

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18. 已知空间中三点 $A (- 2 ， 0 ， 2)$ ， $B (- 1 ， 1 ， 2)$ ， $C (- 3 ， 0 ， 4)$ ，设 $\vec{a} = \vec{A B}$ ， $\vec{b} = \vec{A C}$ .

(1)、求向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 的夹角的余弦值；

(2)、若 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $k \vec{a} - 2 \vec{b}$ 互相垂直，求实数 $k$ 的值.

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19. 在平面四边形 $A B C D$ 中（如图甲），已知 $A B ⊥ B D ， B C ⊥ C D$ ，且 $A B = B D = 2 C D ，$ 现将平面四边形 $A B C D$ 沿 $B D$ 折起，使平面 $A B D ⊥$ 平面 $B D C$ （如图乙），设点 $E ， F$ 分别为 $A C ， A D$ 的中点.

(1)、求证：平面 $B E F ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若三棱锥 $A - B F E$ 的体积为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，求 $C D$ 的长.

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形， $M$ 是 $P A$ 的中点， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且 $P D = C D = 4$ ， $A D = 2$ .

(1)、求 $A P$ 与平面 $C M B$ 所成角的正弦；

(2)、求 $M$ 点到面PBC的距离.

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21. 如图，四棱锥 $S - A B C D$ 的底面是正方形， $S D ⊥$ 平面 $A B C D ， S D = A D = a$ ，点 $E$ 是 $S D$ 上的点，且 $D E = λ a (0 < λ \leq 1)$ .

(1)、求证：对任意的 $λ \in (0 ， 1)$ ，都有 $A C ⊥ B E$ ；

(2)、若二面角 $C - B E - A$ 的大小为 $120 °$ ，求实数 $λ$ 的值.

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22. 四棱锥 $S - A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为平行四边形，侧面 $S B C ⊥$ 底面 $A B C D$ .已知 $∠ D A B = 135 ° ， B C = 2 \sqrt{2} ， S B = S C = A B = 2 ， F$ 为线段 $S B$ 的中点.

(1)、求证： $S D / /$ 平面 $C F A ；$

(2)、求面 $S C D$ 与面 $S A B$ 所成二面角大小.

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