江苏省南京市“六校联合体”2021-2022学年高二上学期数学10月联考试卷

试卷更新日期：2021-10-20 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 若复数 $z$ 满足 $(1 - i) z = 3 + i$ （其中 $i$ 是虚数单位），则 $z$ 的虚部是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2. 为了解学生在课外活动方面的支出情况，抽取了 $n$ 个同学进行调查，结果显示这些学生的支出金额（单位：元）都在 $[10 ， 50]$ 内，其中支出金额在 $[30 ， 50]$ 内的学生有234人，频率分布直方图如图所示，则 $n$ 等于（）

A、300 B、320 C、340 D、360

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3. 已知平面向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (2 ， y)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $\vec{a} + 2 \vec{b} =$ （）

A、 $(5 ， - 6)$ B、 $(3 ， 6)$ C、 $(5 ， 4)$ D、 $(5 ， 10)$

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4. 某校新成立3个社团，规定每位同学只能参加其中一个社团，假定每位同学参加各个社团的可能性相同，则该校甲、乙两位同学参加同一个社团的概率为（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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5. 已知 $\sin x \cos x = \frac{1}{8}$ ，则 $\cos^{2} (\frac{π}{4} - x) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{3}{8}$ D、 $\frac{5}{8}$

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6. 已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有棱长都为2，一个半径为3的球 $O$ 与正三棱柱的底面三角形 $A B C$ 的三边均相切，且球心 $O$ 在该正三棱柱外，则点 $O$ 到底面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 的距离为（）

A、5 B、 $2 + \frac{\sqrt{33}}{3}$ C、 $2 + \frac{\sqrt{69}}{3}$ D、 $2 + \frac{\sqrt{78}}{3}$

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7. 等边△ $A B C$ 的边长为4，M､N分别为AB､AC的中点，沿MN将ΔAMN折起，使得面AMN与面MNCB所成的二面角大小为60°，则四棱锥A-MNCB的体积为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、3 C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ D、 $3 \sqrt{3}$

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8. 已知椭圆的标准方程为 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ ， $F_{1} 、 F_{2}$ 为其左､右焦点，过点 $F_{2}$ 的直线与椭圆交于A，B两点（其中 $A$ 点在 $x$ 轴上方），设 $\vec{A F_{2}} = λ \vec{F_{2} B} (0 < λ < 1)$ ，当三角形 $A B F_{1}$ 的面积为 $\frac{4}{3}$ 时， $λ$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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二、多选题

9. 设 $α 、 β$ 为两个不重合的平面， $l 、 m 、 n$ 为两两不重合的直线，以下结论正确的是（）

A、若 $l / / m ， m ⊥ α ， n ⊥ α$ ，则 $l / / n$ B、若 $α / / β ， l \subset α$ ，则 $l / / β$ C、若 $m \subset α ， n \subset α ， l ⊥ m ， l ⊥ n$ ，则 $l ⊥ α$ D、若 $l / / α ， l ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$

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10. 已知直线l过点P（－1，1），且与直线 $l_{1} ： 2 x - y + 3 = 0$ 以及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，则下列结论正确的是（）

A、直线l与直线l₁的斜率互为相反数 B、所围成的等腰三角形面积为1 C、直线l关于原点的对称直线方程为 $2 x + y - 1 = 0$ D、原点到直线l的距离为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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11. 已知曲线C的方程为 $\frac{x^{2}}{k - 2} + \frac{y^{2}}{6 - k} = 1$ （ $k \in R$ ），则下列结论正确的是（）

A、当 $k = 4$ 时，曲线C为圆 B、“ $k > 4$ ”是“曲线C为焦点在 $x$ 轴上的椭圆”的充分而不必要条件 C、当 $k = 0$ 时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{3} x$ D、存在实数 $k$ 使得曲线C为双曲线，其离心率为 $\sqrt{2}$

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12. 关于曲线C：x²-xy+y²=9，以下结论正确的是（）

A、曲线C关于直线y=x对称 B、曲线C上恰好有4个整点（即横､纵坐标均为整数的点） C、曲线C上的点到原点距离的最大值为 $3 \sqrt{2}$ D、曲线C上任意一点都不在圆x²+y²=6的内部

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三、填空题

13. 直线l：2x-y+4=0与两坐标轴相交于A，B两点，则线段 $A B$ 的垂直平分线的方程为.

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14. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 1) ， \vec{b} = (1 ， k)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $| \vec{a} + \vec{2 b} | =$ .

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15. 设 $F$ 为双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的右焦点，过 $F$ 且斜率为 $\frac{a}{b}$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的两条渐近线分别交于A，B两点，且 $\vec{A F} = 2 \vec{F B}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为.

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16. 在等腰直角△BCD中，BD=CD=1，点A在△BCD所在的平面内，若 $\frac{| A B |}{\sqrt{2} k} = \frac{| A C |}{k} = \frac{| A D |}{\sqrt{2}}$ ，则正整数 $k$ 的最大值为.

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四、解答题

17. 已知甲､乙两名运动员试跳某个高度成功的概率分别是0.7､0.6，且每次试跳成功与否之间互不影响.

(1)、求甲试跳两次，两次均成功的概率；

(2)、求甲､乙两人在一次试跳中，至少有一人成功的概率.

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18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A 、 B 、 C$ 的对边分别为 $a 、 b 、 c$ ，已知 $a = 3$ ， $b = 2 c$ .

(1)、若 $A = \frac{2 π}{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若 $2 \sin B - \sin C = 1$ 且 $B$ 为锐角，求 $b$ .

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19. 已知椭圆与双曲线 $\frac{x^{2}}{20} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ 有相同的焦点，且该椭圆过点 $P (5 ， 2)$ .

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、已知椭圆左焦点为F，过F作直线l与椭圆交于A､B两点，若弦AB中点在直线 $y = \frac{1}{4}$ 上，求直线l的方程.

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20. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B_{1}$ 与 $A_{1} B$ 相交于点 $M$ ， $N$ 为 $B_{1} C_{1}$ 的中点，

(1)、求证： $M N //$ 平面 $A A_{1} C_{1} C$ ；

(2)、若 $A C ⊥ B C$ ， $A C = A A_{1}$ ，求证： $M N ⊥$ 平面 $A_{1} B C$ .

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21. 已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ ，直线 $l ： k x - y - 4 k = 0$ ，当 $k = \frac{\sqrt{3}}{3}$ 时，直线 $l$ 与圆 $O$ 恰好相切.

(1)、求圆O方程；

(2)、若 $l$ 被圆O截得弦长为2，求 $l$ 方程；

(3)、若直线 $l$ 上存在距离为2的两点 $M 、 N$ ，在圆O上存在点 $P$ 使得 $\vec{P M} \cdot \vec{P N} = 0$ ，求 $k$ 的取值范围.

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22. 如图，椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 且经过点 $(\sqrt{2} ， \frac{\sqrt{6}}{2})$ ， $P$ 为椭圆上的一动点.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设圆 $x^{2} + y^{2} = \frac{8}{5}$ ，过点 $P$ 作圆 $O$ 的两条切线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，两切线的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ .
①求 $k_{1} k_{2}$ 的值；

②若 $l_{1}$ 与椭圆 $C$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点，与圆 $O$ 切于点A，与 $x$ 轴正半轴交于点 $B$ （异于点A），且满足 $S_{△ P O B} = S_{△ Q O A}$ ，求 $l_{1}$ 的方程.

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