河南省创新发展联盟2021-2022学年高二上学期数学9月联考试卷

试卷更新日期：2021-10-20 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = 3 a_{n} - 1$ ， $a_{1} = 1$ ，则 $a_{3} =$ （）

A、5 B、3 C、2 D、1

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2. $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a = \frac{\sqrt{3}}{6}$ ， $B = \frac{π}{3}$ ， $\sin A = \frac{1}{3}$ ，则 $b =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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3. $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a = c \sin A$ ，则 $△ A B C$ 为（）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、以上均有可能

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4. $△ A B C$ 中， $A B = 4$ ， $B C = 5$ ， $A C = 6$ ，则 $B C$ 边上的高为（）

A、 $\sqrt{7}$ B、 $\frac{3 \sqrt{7}}{2}$ C、 $2 \sqrt{7}$ D、 $\frac{5 \sqrt{7}}{2}$

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5. $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .已知 $b = 2$ ， $A = \frac{π}{6}$ ，若该三角形有两个解，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(\sqrt{3} ， 2)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $(2 ， + \infty)$ D、 $(1 ， 2)$

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6. 记等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{5} = 5$ ， $S_{15} = 21$ ，则 $S_{10} =$ （）

A、9 B、10 C、12 D、13

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7. 在中国古代诗词中，有一道“八子分绵”的名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人分十七，要作第八数做来言”.题意是把996斤绵分给8个儿子做盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多分17斤绵，则年龄最大的儿子分到的绵是（）

A、65斤 B、82斤 C、167斤 D、184斤

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8. $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .若 $a = 2 b$ ， $A = \frac{π}{3}$ ，则（）

A、 $2 b > c$ B、 $2 b = c$ C、 $2 b < c$ D、 $b$ 与 $c$ 的大小不能确定

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9. 记等差数列 ${a_{n}}$ 与 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}$ 和 $T_{n}$ ，若 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{n + 1}{2 n + 3}$ ，则 $\frac{a_{10} b_{5}}{a_{5} b_{10}} =$ （）

A、 $\frac{82}{81}$ B、 $\frac{81}{82}$ C、 $\frac{42}{41}$ D、 $\frac{41}{42}$

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} = {\begin{array}{l} - n^{2} + 2 t n ， n \leq 5 ， n \in N^{*} ， \\ (t - 1) n ， n > 5 ， n \in N^{*} . \end{array}$ 且数列 ${a_{n}}$ 是单调递增数列，则 $t$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{9}{2} ， \frac{19}{4})$ B、 $(\frac{9}{2} ， + \infty)$ C、 $(5 ， + \infty)$ D、 $(1 ， 4]$

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11. 锐角 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .若 $b = 1$ ， $C = 2 B$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(\sqrt{2} ， \sqrt{3})$ C、 $(0 ， 3)$ D、 $(1 ， 4)$

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12. 记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = - 1$ ，且 $a_{n + 2} - a_{n} = {(- 1)}^{n + 1}$ ，则 $S_{1} + S_{2} + S_{3} + \cdot \cdot \cdot + S_{397} =$ （）

A、19701 B、49900 C、19850 D、19800

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二、填空题

13. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{2} = 2$ ， $a_{3} + a_{5} = 12$ ，则 $a_{1} =$ .

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14. $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .已知 $B = 30 °$ ， $b = 1$ ， $c = 2$ ，则 $a =$ .

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15. 滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而名传千古，流放后世.如图，在滕王阁旁地面上共线的三点 $A$ ， $B$ ， $C$ 处测得阁顶端点 $P$ 的仰角分别为30°，60°，45°.且 $A B = B C = 75$ 米，则滕王阁高度 $O P =$ 米.

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = 2 n^{2} + n + 1$ ，则 $a_{2} + a_{5} =$ ， $\frac{a_{n}}{n}$ 的最大值为.

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三、解答题

17. 记 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{3} = 5$ ， $S_{3} = 21$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 $S_{n}$ ，并求 $S_{n}$ 的最大值.

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18. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $△ A B C$ 的面积为 $3 \sqrt{3}$ ， $a b c = 12 \sqrt{13}$ .

(1)、求 $△ A B C$ 外接圆的直径；

(2)、若 $B = \frac{π}{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = - \frac{1}{7}$ ， $a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{2 a_{n} + 1}$ ， $n \in N^{*}$ .

(1)、证明：数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 是等差数列；

(2)、求数列 ${| \frac{1}{a_{n}} |}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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20. 在 $△ A B C$ 中，a ， b ， c分别为内角A ， B ， C所对的边，且 $\sqrt{3} a - 2 c \sin (B + \frac{π}{3}) = 0$ .

(1)、求角 $C$ ；

(2)、设 $A C = 6$ ， $B C = 4$ ，若 $P$ 为 $A B$ 上一点，且满足 $A P = C P$ ，求 $A P$ 的长.

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21. 热带海面受太阳直射，海水温度升高，并蒸发形成水汽升空.而周围较冷的空气又流入补充，然后再上升.如此循环，使整个气流不断扩大形成“气流柱子”，这便是人们所说的台风，是危害极大的灾害性天气.据气象检测，某海面上产生了一股台风，台风中心（记作点 $A$ ）位于某海港港口（记作点 $B$ ）的南偏东45°方向， $A$ 与 $B$ 之间的距离为 $60 + 60 \sqrt{3}$ 千米.台风中心正以 $80 \sqrt{2}$ 千米/小时的速度沿北偏西30°的方向移动，距离台风中心60千米的圆形区域内均会受到台风的侵袭.
（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

(1)、经过1小时后，港口 $B$ 距离台风中心的距离是否超过60千米？

(2)、试问港口 $B$ 是否会受到此次台风的侵袭？若会，若港口 $B$ 受到侵袭的持续时长；若不会，说明理由.

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22. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n} > 0$ ， $a_{674} = 2021$ ， $6 S_{n} = (a_{n} + 1) (a_{n} + 2)$ ， $n \in N^{*}$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} - b_{n - 1} = a_{n} + \frac{5}{2}$ ， $n \geq 2$ ， $n \in N^{*}$ ， $b_{1} = \frac{9}{2}$ ，求数列 ${\frac{1}{b_{n}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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