浙江省浙南名校联盟2021-2022学年高三上学期数学第一次联考试卷

试卷更新日期：2021-10-20 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设全集 $U = R$ ，集合 $P = {x | x^{2} + 2 x - 3 > 0} ， Q = {x | x \geq 0}$ ，则 $(∁_{U} P) \cap Q =$ （）

A、 ${x | - 3 \leq x \leq 1}$ B、 ${x | x \geq 0}$ C、 ${x | 0 \leq x \leq 1}$ D、 ${x | - 3 \leq x < 0}$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $z \cdot i = 4 - 3 i$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则复数 $z$ 的共轭复数等于（）

A、 $3 - 4 i$ B、 $3 + 4 i$ C、 $- 3 - 4 i$ D、 $- 3 + 4 i$

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3. 已知命题 $p ： a > b > 0$ ，命题 $q ： \frac{a^{2} + b^{2}}{2} > {(\frac{a + b}{2})}^{2}$ ，则 $p$ 是 $q$ 成立的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知 $x \geq 0 ， y \geq 0$ ，且满足约束条件 ${\begin{array}{l} y \leq x + 1 \\ y \leq - \frac{1}{2} x + 2 \end{array}$ ，则 $z = x + y$ 的最大值是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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5. 某四棱锥的三视图如图所示，其中正视图为正方形，俯视图是腰长为2厘米的等腰直角三角形，则该几何体的体积是（）

A、 $8 \sqrt{2} {cm}^{3}$ B、 $\frac{8}{3} {cm}^{3}$ C、 $\frac{8 \sqrt{2}}{3} {cm}^{3}$ D、 $\frac{16}{3} {cm}^{3}$

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6. 函数 $y = \frac{\sin x}{2 x}$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知随机变量 $X$ 的分布列如下表：

X

-1

0

1

P

a

b

0.5

其中 $a > 0 ， b > 0$ ，则 $X$ 的方差 $D (X)$ 取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{4} ， \frac{5}{4})$ B、 $(\frac{1}{4} ， \frac{5}{4}]$ C、 $(\frac{1}{4} ， 1]$ D、 $(\frac{1}{4} ， 1)$

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8. 边长为2的正三角形 $A B C$ 内一点 $M$ （包括边界）满足： $\vec{C M} = \frac{1}{3} \vec{C A} + λ \vec{C B} (λ \in R)$ ，则 $\vec{C A} \cdot \vec{B M}$ 的取值范围是（）

A、 $[- \frac{4}{3} ， \frac{2}{3}]$ B、 $[- \frac{2}{3} ， \frac{2}{3}]$ C、 $[- \frac{4}{3} ， \frac{4}{3}]$ D、 $[- 2 ， 2]$

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9. 所有棱长都为 $a$ 的正四面体的一个面与某四棱锥的一个面重合后，得到一个三棱柱，则该四棱锥侧面与底面所成二面角的余弦值是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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10. 设数列 ${\sqrt{a_{n}}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{n} > 0 ， a_{1} = 1 ， \sqrt{a_{n + 1}} = \frac{\sqrt{a_{n}}}{a_{n} + 1} ， n \in N^{*}$ ，若 $S_{n} > λ \sqrt{a_{n}} - 1$ 对 $n \in N^{*}$ 恒成立，则实数 $λ$ 的范围是（）

A、 $(- \infty ， 1)$ B、 $(- \infty ， 2)$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(1 ， 2)$

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二、填空题

11. 若 ${(\sqrt{2})}^{x} = 8$ ，则 $x =$ ，若 $2^{a} = 7^{b} = 14$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} =$ .

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12. 已知点 $(3 ， 0)$ 是双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的一个焦点，则 $b =$ ，顶点到渐近线的距离为.

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13. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 \leq φ \leq π)$ 是 $R$ 上的偶函数，其图像关于点 $M$ $(\frac{π}{4} ， 0)$ 对称，且在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上是单调函数，则 $ω =$ . $φ =$ .

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14. 已知 ${(2 x - 1)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n} (n \in N^{*})$ ，设 ${(2 x - 1)}^{n}$ 展开式的二项式系数和为 $S_{n}$ ， $T_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} (n \in N^{*})$ ，则 $S_{4} =$ ， $T_{4} =$ .

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15. 一圆锥母线长为定值 $a (a > 0)$ ，母线与底面所成角大小为 $θ (0 < θ < \frac{π}{2})$ ，求当圆锥体积 $V$ 最大时， $\sin θ =$ .

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16. 现把5个不同的小球全部分给3名同学，每名同学至少分到1个小球，则不同的分配方法共有种，（用数字作答）

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17. 已知 $x ， y ， z$ 为正实数，且 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3$ ，则 $\sqrt{6} x y + y z$ 的最大值是.

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三、解答题

18. 在 $△ A B C$ 中， $a ， b ， c$ 分别为内角 $A ， B ， C$ 的对边， $2 c \sin C = (2 a + b) \sin A + (2 b + a) \sin B$

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $c = 2 \sqrt{3} ， B = \frac{π}{4}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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19. 如图，已知等腰梯形 $A B C D$ 中， $A B / / C D ， A D = A B = \frac{1}{2} C D ， M$ 是 $C D$ 的中点， $N$ 是 $A C$ 与 $B M$ 的交点，将 $△ B C M$ 沿 $B M$ 向上翻折成 $△ B P M$ ，使平面 $B P M ⊥$ 平面 $A B M D ， E 、 F$ 分别为 $P A 、 P B$ 的中点.

(1)、求证：平面 $E F N / /$ 平面 $P D M$ ；

(2)、求直线 $E F$ 与平面 $P A D$ 所成角的余弦值.

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20. 在各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = 2$ 且 $2 a_{3} ， a_{5} ， 3 a_{4}$ 成等差数列，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = 2 \log_{2} a_{n + 1} ， S_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和.

(1)、求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = \frac{S_{n} - n}{n a_{n}}$ ，求证： $c_{1} + c_{2} + c_{3} + \dots + c_{n} < 4$ .

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21. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上横坐标为4的点 $M$ 到焦点 $F$ 的距离为5.

(1)、求 $p$ 的值；

(2)、如图，已知 $A B$ 为抛物线上过焦点 $F$ 的任意一条弦，弦 $A B$ 的中点为 $D ， D P$ 垂直 $A B$ 与抛物线准线交于点 $P$ ，若 $| P D | = | A B |$ ，求直线 $A B$ 的方程.

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22. 已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = {(x + a)}^{2} + \ln x$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1} ， x_{2}$ 且 $x_{1} < x_{2}$ ，试把 $x_{1} \cdot f (x_{2})$ 表示成 $x_{2}$ 的函数，并证明此函数存在极值点 $x_{3} ， x_{4}$ ，且 $x_{3} \in (\frac{\sqrt{2}}{2} ， \sqrt{e}) ， x_{4} \in (\sqrt{e} ， + \infty)$ .

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X	-1	0	1
P	a	b	0.5