山东省潍坊市2021-2022学年高三上学期数学10月阶段性检测试卷

试卷更新日期：2021-10-20 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 1 \leq x < 2} ， B = {x | {(\frac{1}{2})}^{x} \geq 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[0 ， 2)$ B、 $[- 1 ， 0]$ C、 $[- 1 ， 0)$ D、 $(- \infty ， 2)$

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2. 已知命题 $p ： \exists x \in R ， x^{2} + 2 x + 3 = 0$ ，则命题 $p$ 的否定是（）

A、 $\exists x \in R ， x^{2} + 2 x + 3 > 0$ B、 $\forall x \in R ， x^{2} + 2 x + 3 \leq 0$ C、 $\forall x \in R ， x^{2} + 2 x + 3 \neq 0$ D、 $\forall x \in R ， x^{2} + 2 x + 3 = 0$

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3. 函数 $f (x) = \frac{(e^{x} + 1) \ln | x |}{e^{x} - 1}$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第 $1$ 名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”，对乙说：“你不会是最差的”，从这两个回答分析，这5人的名次排列所有可能的情况共有（）

A、18种 B、36种 C、54种 D、72种

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5. 已知某圆锥轴截面的顶角为120°，过圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为2，则该圆锥的底面半径为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt[4]{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt[4]{3}$

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6. 下图是2020年2月15日至3月2日来巾新冠肺炎新增确诊病例的折线统计图.则下列说法不正确的是（）

A、2020年2月19日该市新增新冠肺炎确诊病例大幅下降至三位数 B、该市新冠肺炎疫情防控取得了阶段性的成果，但防控要求不能降低 C、2020年2月19日至3月2日该市新增新冠肺炎确诊病例低于400人的有8天 D、2020年2月15日到3月2日该市新冠肺炎新增确诊病例一直呈下降趋势

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7. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面是边长为4的正方形，且 $P A = 2 ， P B = P D = 2 \sqrt{5}$ ，则四棱锥外接球的表面积为（）

A、4π B、8π C、36π D、144π

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8. 已知函数 $f (x)$ 满足：对任意的 $x \in R ， f (x) + f (5 - x) = - 1$ ，若函数 $y = f (x)$ 与 $y = \frac{1 - x}{2 x - 5}$ 图像的交点为 $(x_{i} ， y_{i}) (i = 1.2 ， \dots . ， n)$ ，则 $\sum_{n = 1}^{n} (x_{i} + y_{i})$ 的值为（）

A、0 B、 $n$ C、 $2 n$ D、 $3 n$

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二、多选题

9. 已知二项展开式 ${(a + b)}^{n} = C_{n}^{0} a^{n} + C_{n}^{1} a^{n - 1} b^{1} + \dots + C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k} + \dots + C_{n}^{n} b^{n} ， n \in N^{*}$ ，则下列说法正确的是（）

A、二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数一定相等 B、二项展开式中，当 $k < \frac{n + 1}{2}$ 时， $C_{n}^{k}$ 随 $k$ 的增加而减小；当 $k > \frac{n + 1}{2}$ 时， $C_{n}^{k}$ 随 $k$ 的增加而增加 C、二项展开式中，奇数项的二项式系数的和一定等于偶数项的二项式系数的和 D、二项式展开式中，第 $k$ 项的通项公式 $T_{k} = C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k} ， k = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ， n$

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10. 函数 $y = \ln (x + 4) - 1$ 的图象恒过定点 $A$ ，若点 $A$ 在直线 $l ： m x + n y + 1 = 0$ 上，其中 $m n > 0$ ，则（）

A、点 $A$ 的坐标为 $(- 3 ， - 1)$ B、 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值为 $4 + 2 \sqrt{3}$ C、点 $(m ， n)$ 的轨迹是一条直线 D、点 $(3 ， 1)$ 到直线 $l$ 的距离最大值为 $2 \sqrt{10}$

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} {(\frac{1}{3})}^{x} ， x \leq 0 \\ x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1 ， x > 0 \end{array}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $(- 1 ， 1)$ 上单调递减 B、 $f ({log}_{2} 3) > f ({log}_{2} 5)$ C、当 $x \in (- 1 ， a]$ 时，函数 $f (x)$ 的值域为 $[1 ， 5]$ ，则 $1 \leq a \leq 4$ D、当 $1 < t < 5$ 时，函数 $g (x) = {[f (x)]}^{2} - (t + 5) f (x) + 5 t$ 恰有7个不同的零点

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12. 在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点P是正方体的棱上一点， $| P B | + | P C_{1} | = λ$ ，则（）

A、 $λ = 2$ 时，满足条件的点P的个数为1 B、 $λ = 4$ 时，满足条件的点P的个数为4 C、 $λ = 4 \sqrt{2}$ 时，满足条件的点P的个数为2 D、若满足 $| P B | + | P C_{1} | = λ$ 的点P的个数为6，则 $λ$ 的取值范围为 $(2 \sqrt{2} ， 4)$

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三、填空题

13. 已知 $a ， b$ 都是实数，那么“ $a^{3} > b^{3}$ ”是“”的充要条件.(请在横线处填上满足要求的一个不等式.)

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14. 圆台的上、下底面的圆周都在一个直径为6的球面上，上、下底面半径分别为 $1$ 和 $3 ，$ 则该圆台的体积为．

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15. 一项过关游戏规则规定：在第 $n$ 关要抛掷一颗质地均匀的骰子 $n$ 次，如果这 $n$ 次抛掷所出现的点数之和大于 $2^{n}$ ，则算过关.甲同学参加了该游戏，他连过前二关的概率是．

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16. 某校学生在研究折纸实验中发现，当对折后纸张达到一定的厚度时，便不能继续对折了.在理想情况下，对折次数 $n$ 与纸的长边 $ω (cm)$ 和厚度 $x (cm)$ 有关系： $n \leq \frac{2}{3} {log}_{2} \frac{ω}{x}$ .现有一张长边为30cm，厚度为0.01cm的矩形纸，根据以上信息，当对折完 $4$ 次时， $\frac{ω}{x}$ 的最小值为该矩形纸最多能对折次.(参考数值： $lg 2 \approx 0.3 ， \lg 3 \approx 0.48$ )

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四、解答题

17. 某汽车公司的A型号汽车近期销量锐减，该公司为了了解销量锐减的原因，就是否支持购买A型号汽车进行了市场调查，在所调查的1000个对象中，年龄在

[20 ， 30)

的群体有200人，支持率为0%，年龄在

[30 ， 40)

和

[40 ， 50)

的群体中，支持率均为3%；年龄在

[50 ， 60)

和

[60 ， 70)

的群体中，支持率分别为

6 %

和

13 %

，若在调查的对象中，除

[20 ， 30)

的群体外，其余各年龄层的人数分布情况如频率分布直方图所示.其中最后三组的频数构成公差为100的等差数列.

附表：

$P (K^{2} \geq k)$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k$	2.072	2.076	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

(参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ；参考数据： $125 \times 33 = 15 \times 275 ， 125 \times 97 = 25 \times 485$

(1)、求年龄在

[50 ， 60)

群体的人数；

(2)、请完成

2 \times 2

列联表，并根据表中的数据，判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为年龄与支持率有关?

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18. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = B C = 1 ， A A_{1} = 3 ，$ 点 $E ， F$ 分别在 $D D_{1} ， B B_{1}$ 棱上，且 $\vec{D E} = \frac{1}{2} \vec{E D_{1}}$ ， $\vec{B F} = 2 \vec{F B_{1}}$ .

(1)、证明： $A ， E ， C_{1} ， F$ 在同一个平面上；

(2)、设直线 $A E$ 与平面 $B B_{1} D_{1} D$ 所成的角为 $α$ ，直线 $A F$ 与平面 $B B_{1} D_{1} D$ 所成的角为 $β$ ，判断 $α$ 与 $β$ 的大小关系，并说明理由.

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19. 已知过原点O的一条直线与函数 $y = \log_{8} x$ 的图像交于A ， B两点，分别过点A ， B作y轴的平行线与函数 $y = \log_{2} x$ 的图像交于C ， D两点．

(1)、证明：点O ， C ， D在同一条直线上；

(2)、当直线 $B C$ 平行于x轴时，求点A的坐标．

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20. 智能体温计由于测温方便、快捷，已经逐渐代替水银体温计应用于日常体温检测.调查发现，使用水银体温计测温结果与人体的真实体温基本一致，而使用智能体温计测量体温可能会产生误差.对同一人而言，如果用智能体温计与水银体温计测温结果相同，我们认为智能体温计“测温准确”否则，我们认为智能体温计“测温失误”.现在某社区随机抽取了20人用两种体温计进行体温检测，数据如下：

序号	智能体温计测温（℃）	水银体温计测温（℃）	序号	智能体温计测温（℃）	水银体温计测温（℃）
01	36.6	36.6	11	36.3	36.2
02	36.6	36.5	12	36.7	36.7
03	36.5	36.7	13	36.2	36.2
04	36.5	36.5	14	35.4	35.4
05	36.5	36.4	15	35.2	35.3
06	36.4	36.4	16	35.6	35.6
07	36.2	36.2	17	37.2	37.0
08	36.3	36.4	18	36.8	36.8
09	36.5	36.5	19	36.6	36.6
10	36.3	36.4	20	36.7	36.7

(1)、试估计用智能体温计测量该社区1人“测温准确”的概率；

(2)、从该社区中任意抽查3人用智能体温计测量体温，设随机变量为使用智能体温计“测温准确”的人数，求

X

的分布列与数学期望.

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21. 如图1五边形 $A B C D E$ 中， $E D = E A ， A B / / C D ， C D = 2 A B ， ∠ E D C = 150 °$ ，将 $△ E A D$ 沿 $A D$ 折到 $△ P A D$ 的位置，得到如图2所示的四棱锥 $P - A B C D$ ，点 $M$ 为线段 $P C$ 的中点，且 $B M ⊥$ 平面 $P C D$ .

(1)、求证： $B M / /$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求证： $C D ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(3)、若直线 $P C$ 与 $A B$ 所成角的正切值为 $\frac{1}{2}$ ，求二面角 $P - B D - C$ 的余弦值.

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22. 已知函数 $f (x) = \ln x - k (x - 1)$ ，且曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线与直线 $y = 1$ 平行.

(1)、求实数 $k$ 的值并判断 $f (x)$ 的单调性；

(2)、记 $g (x) = x^{2} + x f (x)$ ，若 $λ \in Z$ ，且当 $x \in (1 ， + \infty)$ 时，不等式 $g (x) - λ x + 1 > 0$ 恒成立，求 $λ$ 的最大值.

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