山东省2021-2022学年高三上学期数学10月“山东学情”联考试卷A

试卷更新日期：2021-10-20 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 6 x + 5 \leq 0}$ ， $B = {x \in Z | 2 < x < 6}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(2 ， 5]$ B、 $(2 ， 3]$ C、 ${3 ， 4 ， 5}$ D、{3}

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2. 设集合 $A = {x | 1 < x < 3}$ ， $B = {x | 0 < x < a}$ ，若 $A \cup B = {x | 0 < x < 3}$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， 3)$ B、 $[1 ， 3)$ C、 $(0 ， 3]$ D、 $(1 ， 3]$

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3. 现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积 $V$ （单位： $L$ ）与直径 $d$ （单位： $d m$ ）的关系式为 $V = \frac{π}{6} d^{3}$ ，估计当 $d = 1 d m$ 时，气球体积的瞬时变化率为（）

A、 $2 π$ B、π C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{π}{4}$

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4. $x > 3$ 是 $2^{x} + \frac{8}{2^{x}} > 9$ 的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{6})$ ，将其图象向右平移 $φ (φ > 0)$ 个单位后得函数 $g (x)$ 图象，若 $g (x)$ 为奇函数，则 $φ$ 的值可以为（）

A、 $\frac{π}{12}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$

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6. 已知角 $α$ ， $β$ 顶点都为坐标原点 $O$ ，始边与 $x$ 轴非负半轴重合， $α$ ， $β$ 终边上分别有点 $A (- 1 ， a)$ （ $a > 0$ ）， $B (2 ， b)$ ，若 $α$ ， $β$ 终边关于 $y$ 轴对称，则（）

A、 $a = 2 b$ B、 $a = - 2 b$ C、 $b = - 2 a$ D、 $a + \frac{1}{b}$ 的最小值为 $\sqrt{2}$

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7. 对于任意正实数 $m ， n ， p$ ，关于 $x$ 的方程 $m x^{2} - 2 m x + n = \frac{p}{e^{x - 1} + e^{1 - x}}$ 的解集不可能是（）

A、{1} B、 ${0 ， 2}$ C、 ${0 ， 1 ， 2}$ D、 $\emptyset$

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8. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $(- \infty ， 0) \cup (0 ， + \infty)$ 上的偶函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = {\begin{array}{l} e^{| x - 2 |} - 1 ， 0 < x \leq 4 \\ \frac{1}{2} f (x - 4) ， x > 4 \end{array}$ ，若函数 $g (x) = a f (x) - e^{2} + 1$ 的零点个数为 $8$ ，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $1 < a < 2$ B、 $2 < a < 4$ C、 $2 \leq a \leq 4$ D、 $2 \leq a < 4$

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二、多选题

9. 下列既是奇函数，又是增函数的是（）

A、 $f (x) = x | x |$ B、 $g (x) = \frac{4^{x} - 1}{2^{x}}$ C、 $φ (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 2 x ， x > 0 \\ - x^{2} - 2 x ， x < 0 \end{array}$ D、 $h (x) = \log_{\frac{1}{2}} (\sqrt{x^{2} + 1} - x)$

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10. 已知正实数 $x$ ， $y$ 满足 $x + \frac{2}{y} = 4$ ，下列说法正确的是（）

A、 $\frac{x}{y}$ 的最大值是2 B、 $x - y$ 的最大值是1 C、 $x y$ 的最小值是2 D、 $\frac{2}{x} + y$ 的最小值是2

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11. 函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $- π < φ < 0$ ）的部分图象如图实线所示，图中圆 $C$ 与 $f (x)$ 的图象交于 $M$ ， $N$ 两点，且 $N$ 在 $y$ 轴上，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为π B、函数的图象关于点 $(- \frac{4 π}{3} ， 0)$ 成中心对称 C、函数 $f (x)$ 在 $(- \frac{2 π}{3} ， - \frac{π}{6})$ 上单调递减 D、函数 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{4} ， \frac{π}{6}]$ 上的值域为 $[- A ， - \frac{A}{2}]$

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12. 已知 $f (x) = \frac{e^{x}}{x^{2}}$ ， $g (x) = x \ln x + 2$ ，下列说法正确的是（）

A、若方程 $g (x) - k = 0$ 有两个不等的实数根，则 $k > 2 - \frac{1}{e}$ B、 $f (3) < f (1) < f (4)$ C、若 $h (x) = f (x) - \frac{k}{x} g (x)$ 仅有一个极值点，则实数 $k \leq e$ D、当 $x > 0$ 时， $f (x) \geq 2 e - e x$ 恒成立

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三、填空题

13. 已知正数 $a$ 与 $b$ 满足 $a = b (2 a - 1)$ ，则 $a + 4 b$ 最小值为．

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14. 设 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，且 $f (1 - x) = f (2 + x)$ ，若 $f (\frac{4}{3}) = \frac{1}{2}$ ，则 $f (- \frac{5}{3}) =$ ．

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15. 已知命题 $p$ ： $\frac{x - 1}{x - 2} \geq 2$ ，命题 $q$ ： $| 2 x - a | < 2$ ，若命题 $p$ 是命题 $q$ 的充分不必要条件，则实数 $a$ 的取值范围是．

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16. 已知函数 $f (x) = | \ln x - 1 |$ ， $0 < x_{1} < e < x_{2} < e^{2}$ ，函数 $f (x)$ 的图象在点 $M (x_{1} ， f (x_{1}))$ 和点 $N (x_{2} ， f (x_{2}))$ 的两条切线互相垂直，且分别与 $y$ 轴交于 $P ， Q$ 两点，则 $\frac{| Q P |}{| O Q |}$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 已知命题 $p$ ： $\exists x \in (1 ， 3)$ ，使得 $x^{2} - a x + 4 \geq 0$ ．命题 $q$ ： $| a - m | \leq 1$ ．

(1)、若 $p$ 是假命题，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件，求 $m$ 的取值范围．

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18. 已知 $\sin α = 4 \sin^{2} \frac{α}{2} - 2$ ．

(1)、求 $\frac{\sin α (1 - \sin 2 α)}{\sin α - \cos α}$ 的值；

(2)、已知 $α \in (0 ， π)$ ， $β \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $\tan^{2} β + 6 \tan β - 1 = 0$ ，求 $α + 2 β$ 的值．

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19. 已知函数 $f (x) = x^{2} + x - \ln x - 1$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的极值点；

(2)、若 $g (x) = f (x) - m \frac{e^{2 x}}{x}$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上单调递减，求实数 $m$ 的取值范围．

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20. 已知 $f (x) = \sin^{2} (x + \frac{π}{8}) + \sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4}) \cos (x + \frac{π}{4}) - \frac{1}{2}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若函数 $y = | f (x) | - m$ 在区间 $[- \frac{5}{24} π ， \frac{3}{8} π]$ 上恰有两个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ．
①求 $m$ 的取值范围；

②求 $\sin (x_{1} + x_{2})$ 的值．

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21. 已知函数 $f (x) = \ln x - a x^{2}$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a > 0$ 时，求 $f (x)$ 在区间 $[1 ， 2]$ 上的最大值．

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22. 已知 $f (x) = e^{x - 1} - \sin x$ ．

(1)、求证：当 $x > 0$ 时， $f (x) > 0$ ；

(2)、求证： $\sum_{i = 2}^{n} (\frac{1}{i + 1} \ln i) < \frac{1}{4} n^{2} - \frac{1}{4} n$ ， $n \geq 2$ ， $n \in N_{+}$ ．

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