青桐鸣2022届高三上学期理数10月大联考试卷

试卷更新日期：2021-10-20 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ∣ - 1 \leq x \leq 3}$ ， $B = {y | y = \sqrt{x - 1}}$ ，则集合 $A \cap B =$ （）

A、 $[- 1 ， 3]$ B、 $[0 ， 3]$ C、 $[1 ， 3]$ D、 $[2 ， 3]$

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2. 集合 $M = {x | x = 3 n + 1 ， n \in N^{*}}$ ， $Q = {x | x < 10 \sqrt{2}}$ ，则 $M \cap Q$ 中的元素个数为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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3. 已知命题 $p ： \frac{1}{x} < 1$ ， $q ： m < x < m + 2$ ，若 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[0 ， 2]$ B、 $[- 2 ， 1]$ C、 $(- \infty ， - 2] \cup [1 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 1] \cup [2 ， + \infty)$

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4. 已知命题 $p ： \exists x_{0} \in (0 ， + \infty)$ ， $e^{x_{0}} + x_{0} - 2 > 0$ ，则 $\neg p$ 是（）

A、 $\exists x_{0} \in (0 ， + \infty)$ ， $e^{x_{0}} + x_{0} - 2 \leq 0$ B、 $\exists x_{0} \notin (0 ， + \infty)$ ， $e^{x_{0}} + x_{0} - 2 > 0$ C、 $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ， $e^{x} + x - 2 \leq 0$ D、 $\forall x \notin (0 ， + \infty)$ ， $e^{x} + x - 2 > 0$

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5. 已知平面上四点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ，则以下说法正确的是（）

A、 $\vec{A B} - \vec{B C} = \vec{A C}$ B、 $\vec{A B} + \vec{A C} = \vec{B C}$ C、 $\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C D} + \vec{D A} = \vec{B D}$ D、 $\vec{A B} + \vec{D C} = \vec{A C} + \vec{D B}$

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6. 若向量 $\vec{a} = (m ， 2)$ ， $\vec{b} = (2 - n ， 4)$ ， $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $m + \frac{n}{2} =$ （）

A、1 B、-1 C、2 D、-2

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7. 函数 $f (x) = \frac{x}{\ln x}$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知函数 $f (x) = \ln x - f^{'} (1) e^{x} + 2$ ，则 $f (1) =$ （）

A、 $\frac{e}{e + 1} + 2$ B、 $- \frac{e}{e + 1} + 2$ C、2 D、-2

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9. 已知 $\tan (π + α) \cos (\frac{π}{2} + α) = \frac{3}{2}$ ，则 $\cos 2 α =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ 或 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$ 或2

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10. 把函数 $y = m \sin x + n \cos x$ 的图象向左平移 $θ (θ \in (0 ， \frac{π}{2}) ， \sin θ = \frac{3}{5})$ 个单位长度，可得函数 $y = 5 \cos x$ 的图象，则 $m + n =$ （）

A、7 B、1 C、8 D、-1

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11. 已知定义在 $R$ 上的非常数函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 3)$ 为奇函数， $f (x + \frac{3}{2})$ 为偶函数，则下列说法中不正确的是（）

A、 $f (x) = f (x + 6)$ B、函数 $f (x)$ 为奇函数 C、 $f (- x - 3) = - f (x)$ D、 $f (- \frac{3}{2} + x) = f (- \frac{3}{2} - x)$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 3 \cdot {(\frac{1}{2})}^{x} ， x \leq 0 \\ \frac{2}{3} x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 3 ， x > 0 \end{array}$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 只有一个极值点 B、函数 $f (x)$ 的值域为 $[\frac{13}{3} ， + \infty)$ C、当 $x \in [a ， 1]$ ，且 $\log_{2} \frac{9}{13} \leq a \leq 0$ 时，函数 $f (x)$ 的取值范围是 $[3 ， \frac{14}{3}]$ D、若函数 $g (x) = {[f (x)]}^{2} - (a + 2) f (x) + 2 a$ 有4个不同的零点，则 $\frac{13}{3} < a \leq \frac{14}{3}$ .

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二、填空题

13. 若向量 $\vec{a} = (2 ， 4)$ ， $| \vec{b} | = 5$ ， $| \vec{a} + \vec{b} | = 5 \sqrt{3}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值为.

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14. 在 $△ A B C$ 中，点 $O$ 为 $△ A B C$ 的外心， $| \vec{A B} | = 6$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A O} =$ .

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15. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，点 $M$ 在边 $B C$ 上， $c = a = 2 b = 3 B M$ ，则 $\cos ∠ B A M =$ .

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16. 已知函数 $f (x) = x^{2} - x \sin x$ ，则不等式 $f (2 x - 1) < f (x + 1)$ 的解集为.

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \sin (\frac{π}{2} + x) + \cos (x + \frac{π}{3})$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上的单调递增区间；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，然后将所得图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，再向上平移1个单位长度得到函数 $g (x)$ 的图象，求函数 $g (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的取值范围.

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18. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $\tan A$ ， $\tan B$ 是方程 $x^{2} - m x + m + 1 = 0$ 的两个根.

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $c = 2$ ，当 $a + b$ 取最大值时，求 $m$ 的值.

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - a x^{2} - 3 a^{2} x + b$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在点 $(0 ， b)$ 处的切线方程为 $y = - 3 x + 2$ ，求实数 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性.

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20. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $\cos A + \cos 2 A = 1 - \cos (B - C)$ .

(1)、求证： $b$ ， $a$ ， $c$ 成等比数列；

(2)、若 $a \neq c$ ，且 $\frac{a}{\cos B} = \frac{b}{\cos A}$ ，求 $\cos A$ .

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21. 在等边 $△ A B C$ 中， $\vec{C M} = 2 \vec{M B}$ ，点 $Q$ 为 $A C$ 的中点， $B Q$ 交 $A M$ 于点 $N$ .

(1)、证明：点 $N$ 为 $B Q$ 的中点；

(2)、若 $\vec{N A} \cdot \vec{N M} = - 6$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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22. 已知函数 $f (x) = (x - 1) e^{x} - a x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的极值点的个数；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，证明： $x_{1} x_{2} < 1$ .

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