辽宁省沈阳市郊联体2021-2022学年高三上学期数学10月月考试卷

试卷更新日期：2021-10-20 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | x^{2} - 2 x < 0 ， x \in Z}$ ， $B = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ，则集合 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | 0 < x < 2}$ B、 ${0 ， 1 ， 2}$ C、 ${0 ， 1}$ D、{1}

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2. “ $\forall x \in [1, 2]$ ， $a x^{2} + 1 \leq 0$ ”为真命题的充分必要条件是（）

A、 $a \leq - 1$ B、 $a \leq - \frac{1}{4}$ C、 $a \leq - 2$ D、 $a \leq 0$

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3. 已知函数 $f (x) = e^{| x |} - e^{- | x |}$ ，则函数 $f (x)$ （）

A、是偶函数，且在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增 B、是奇函数，且在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减 C、是奇函数，且在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增 D、是偶函数，且在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减

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4. 若 $a = 2^{0.5}$ ， $b = \log_{π} 3$ ， $c = \log_{2} \sin \frac{2 π}{5}$ ，则（）．

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $b > c > a$ D、 $a > c > b$

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5. 已知函数 $f (x) = \sin x + \cos x$ ，且 $f^{'} (x) = 5 f (x)$ ，则 $\tan 2 x$ 的值是（）

A、 $- \frac{12}{5}$ B、 $\frac{12}{5}$ C、 $- \frac{6}{5}$ D、 $\frac{6}{5}$

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6. 已知函数 $f (x) = x \ln x - a e^{x}$ （e为自然对数的底数）有两个极值点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{e})$ B、 $(\frac{1}{e} ， e)$ C、 $(- \infty ， \frac{1}{e})$ D、 $(- \infty ， e)$

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7. 设定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 满足 $f^{'} (x) > f (x)$ ，则不等式 $e^{x - 1} f (x) < f (2 x - 1)$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， e)$ B、 $(- \infty ， 1)$ C、 $(e ， + \infty)$ D、 $(1 ， + \infty)$

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8. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，其中 $b = 2$ ， $\frac{a - b + c}{b} = \frac{\sin C}{\sin A + \sin B - \sin C}$ ，若 $A = 2 B$ ，则 $△ A B C$ 的周长为（）

A、 $5 + \sqrt{3}$ B、 $6 + 2 \sqrt{3}$ C、 $4 + 2 \sqrt{3}$ D、 $3 + \sqrt{3}$

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二、多选题

9. 已知 $θ \in (0 ， π)$ ， $\sin θ + \cos θ = \frac{1}{5}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $θ \in (0 ， \frac{π}{2})$ B、 $\cos θ = - \frac{3}{5}$ C、 $\tan θ = - \frac{3}{4}$ D、 $\sin θ - \cos θ = \frac{7}{5}$

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10. 在 $△ A B C$ 中，给出下列四个命题，其中正确的命题是（）

A、若 $A < B$ ，则 $\sin A < \sin B$ B、若 $\sin A < \sin B$ ，则 $A < B$ C、若 $A > B$ ，则 $\frac{1}{\tan 2 A} > \frac{1}{\tan 2 B}$ D、若 $A > B$ ，则 $\cos^{2} A > \cos^{2} B$

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11. 函数 $f (x) = \sin 2 x$ 的最小正周期为 $T$ ，将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{T}{4}$ 个单位得到函数 $g (x)$ ，则 $g (x)$ 具有的性质是（）

A、最小正周期为 $π$ ，图象关于点 $(\frac{π}{2} ， 0)$ 对称 B、最大值是 $1$ ，图象关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称 C、在 $(0 ， \frac{π}{4})$ 上单调递减，为偶函数 D、在 $(- \frac{3 π}{4} ， \frac{π}{4})$ 上单调递减，为奇函数

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x^{2}}$ ，（）

A、 $f (x)$ 在 $x = \sqrt{e}$ 处取得极大值 $\frac{1}{2 e}$ B、 $f (x)$ 有两个不同的零点 C、 $f (\sqrt{2}) < f (\sqrt{π}) < f (\sqrt{3})$ D、若 $f (x) < k - \frac{1}{x^{2}}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上恒成立，则 $k > \frac{e}{2}$

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三、填空题

13. 若函数 $f (x) = (\frac{1}{2^{x} - 1} - m) \cdot x^{3}$ 为偶函数，则 $m$ 的值为．

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14. 已知 $\cos (\frac{π}{6} - x) = \frac{1}{3}$ ，则 $\cos (\frac{5 π}{6} + x) - \sin^{2} (x - \frac{π}{6}) =$ ．

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15. 设为 $α$ ， $β$ 为锐角，且 $2 α - β = \frac{π}{2}$ ， $\frac{\tan α \cos β}{x + \sin β} = 1$ ，则 $x =$ ．

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16. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $\cos^{2} A - \cos^{2} B + \sin^{2} C = \sin B \sin C = \frac{1}{4}$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，则边 $a$ 的值为．

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四、解答题

17. 已知函数f(x)＝a(2cos² $\frac{x}{2}$ ＋sin x)＋b.

(1)、若a＝－1，求函数f(x)的单调增区间；

(2)、当x∈[0，π]时，函数f(x)的值域是[5，8]，求a，b的值．

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18. 如图，在 $Δ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $c = 4$ ， $b = 2$ ， $2 c cos C = b$ ， $D$ ， $E$ 分别为线段 $B C$ 上的点，且 $B D = C D$ ， $∠ B A E = ∠ C A E$ ．

(1)、求线段 $A D$ 的长；

(2)、求 $Δ A D E$ 的面积．

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19. 已知 $f (x)$ 是定义在 $[- 1 ， 1]$ 上的奇函数， $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} + \sin x$ ， $g (x)$ 是定义在 $(0 ， + \infty)$ 的函数，且 $g (x) = a x + \frac{1}{x} - 2 (a > 0)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若对于 $\forall x_{1} \in [- 1 ， 1]$ ， $\exists x_{2} \in (0 ， + \infty)$ ，使得 $f (x_{1}) > g (x_{2})$ 成立，求实数a的取值范围．

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20. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x$ 有两个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ．

(1)、求证： $a > e$ ；

(2)、求证： $x_{1} + x_{2} > 2$ ．

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21. 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度），设该蓄水池的底面半径为x米，高为h米，体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为 $12000 π$ 元（ $π$ 为圆周率）.

(1)、将V表示成r的函数 $V (r)$ ，并求该函数的定义域；

(2)、讨论函数 $V (r)$ 的单调性，并确定x和h为何值时该蓄水池的体积最大.

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22. 已知函数 $f (x) = (a x^{2} + x + a) e^{- x}$ $(a \in R)$ .

(1)、若 $a \geq 0$ ，函数 $f (x)$ 的极大值为 $\frac{5}{e}$ ，求实数 $a$ 的值；

(2)、若对任意的 $a \leq 0$ ， $f (x) \leq b \ln (x + 1)$ ，在 $x \in [0 ， + \infty)$ 上恒成立，求实数 $b$ 的取值范围.

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