江西省2022届高三上学期理数阶段性教学质量监测试卷

试卷更新日期：2021-10-20 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | x = 2 + {(- 1)}^{n} ， n \in N_{+}}$ ， $B = {x | | x - 2 | < 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）．

A、 ${1 ， 3}$ B、{3} C、 ${1 ， 2 ， 3}$ D、 ${1 ， 2}$

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2. 下列命题：
①“若 $a \leq b$ ，则 $a < b$ ”的否命题；②“函数 $y = x^{2} - 2 a x + a$ 的图象在 $x$ 轴的上方”是“ $0 < a < 1$ ”的充要条件；③“若 $\sqrt{3} x$ 为有理数，则 $x$ 为无理数”的逆否命题.其中真命题的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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3. 已知命题 $p ： \forall x \in R$ ， $e^{x} - \ln x - e \leq 0$ ，则命题 $p$ 的否定为（）

A、 $\exists x \in R$ ，使 $e^{x} - \ln x - e \geq 0$ B、 $\exists x \in R$ ，使 $e^{x} - \ln x - e > 0$ C、 $\forall x \in R$ ，有 $e^{x} - \ln x - e \geq 0$ D、 $\forall x \in R$ ，有 $e^{x} - \ln x - e > 0$

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4. 已知实数 $a$ 是函数 $f (x) = {(\frac{1}{5})}^{x} - \log_{3} x$ 的零点，若 $x_{0} > a$ ，则 $f (x_{0})$ 的值满足（）．

A、 $f (x_{0}) = 0$ B、 $f (x_{0}) > 0$ C、 $f (x_{0}) < 0$ D、 $f (x_{0})$ 的符号不能确定

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5. 已知 $a = 2^{0.5}$ ， $b = \log_{2} \sqrt{3}$ ， $c = {0.5}^{- 2.1}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）．

A、 $c < b < a$ B、 $b < c < a$ C、 $b < a < c$ D、 $c < a < b$

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6. 已知函数 $f (x) = \sqrt{a x^{2} + b x + c}$ 的定义域与值域均为 $[0 ， 4]$ ，则 $a =$ （）

A、-4 B、-2 C、-1 D、1

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7. 函数 $f (x) = \log_{a} (3 - 2 a x)$ 在区间 $[1 ， 2]$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围为（）．

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(\frac{3}{4} ， 1)$ C、 $(0 ， \frac{3}{4})$ D、 $(1 ， + \infty)$

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (3 - a) x ， x \leq 1 \\ a^{x} ， x > 1 \end{array}$ 是 $R$ 上的单调函数，那么实数 $a$ 的取值范围为（）．

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 3)$ C、 $[\frac{3}{2} ， 3)$ D、 $(1 ， \frac{3}{2}]$

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9. 若定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增，且 $f (3) = 0$ ，则满足 $x f (x - 2) \leq 0$ 的 $x$ 的取值范围为（）．

A、 $(- \infty ， - 1] \cup [5 ， + \infty)$ B、 $[- 1 ， 0] \cup [5 ， + \infty)$ C、 $[- 1 ， 0] \cup [2 ， 5]$ D、 $(- \infty ， - 1] \cup [2 ， 5]$

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10. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且满足 $x f^{'} (x) < f (x)$ ，若 $a = f (1)$ ， $b = \frac{f (\ln 4)}{\ln 4}$ ， $c = \frac{f (3)}{3}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > a > b$ C、 $b > a > c$ D、 $a > c > b$

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11. 已知函数 $f (x) = - x^{2} + b x + c$ ，且 $f (x + 1) = f (1 - x)$ ，函数 $f (x)$ 的最大值为1，若当 $n > m > 0$ ， $x \in [m ， n]$ 时， $f (x)$ 的取值范围为 $[\frac{1}{n} ， \frac{1}{m}]$ ，则 $m n =$ （）

A、1 B、 $\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ D、2

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12. 对任意 $x \in (\frac{1}{3} ， + \infty)$ ，不等式 $\ln x + \frac{m}{x} < \frac{e^{x}}{x}$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围为（）．

A、 $(- \infty ， e^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} \ln 2)$ B、 $(- \infty ， e^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} \ln 2]$ C、 $(- \infty ， e^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{3} \ln 3]$ D、 $(- \infty ， 2]$

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二、填空题

13. $\int_{0}^{2} \sqrt{4 - {(x - 2)}^{2}} d x =$ ．

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14. 函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，若 $f (x) = x^{2} + f^{'} (\frac{π}{3}) \sin x$ ，则 $f (\frac{π}{6}) =$ ．

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15. 已知函数 $f (x) = x^{5} - 2 x + e^{x} - e^{- x}$ ，若 $f (a - 1) + f (2 a^{2}) \leq 0$ ，则实数 $a$ 的取值范围为.

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16. 已知函数 $f (x) = (a x + 2) e^{x} - x$ ，且 $a > - 2$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，下列命题：
①存在实数 $a$ ，使得导函数 $f^{'} (x)$ 为增函数；

②当 $a > 0$ 时，函数 $f (x)$ 不单调；

③当 $- 2 < a \leq - 1$ 时，函数 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递减；

④当 $a = 1$ 时，函数 $f (x)$ 有极值．

在以上命题中，正确的命题序号是．

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三、解答题

17. 已知命题 $p ：$ 函数 $f (x) = \log_{a} (x^{2} - a x + a)$ 的值域为 $R$ ，命题 $q ： \exists x \in [1 ， 2]$ ，使得不等式 $x^{2} - a x + 5 \geq 0$ ．

(1)、若 $p$ 为真，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $p \lor q$ 为真， $p \land q$ 为假，求实数 $a$ 的取值范围．

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18. 已知函数 $f (x) = 2^{x}$ .

(1)、解关于 $x$ 的不等式： $6 f (x) - f (2 x) > 8$ ；

(2)、若对于任意 $x \in [0 ， 1]$ ，不等式 $2 t [f (x) - f (- x)] + f (2 x) + f (- 2 x) \geq 0$ 恒成立，求实数 $t$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = e^{x} - 2 a x - 1$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求函数 $f (x)$ 在区间 $[- 1 ， 2]$ 上的最大值与最小值；

(2)、若函数 $f (x)$ 的最小值为0，求实数 $a$ 的值.

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20. 设函数 $f (x) = \ln (x + 1)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若方程 $f (x) = m x$ 在区间 $f^{'} (x) < 0$ 上有两个解，求实数 $m$ 的取值范围.

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21. 已知二次函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) - f (x + 1) = 2 x + 1$ ，且 $f (x)$ 的最小值为0．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $g (x) = | a f (x) + (a - 1) (2 x - 1) | (a > 0)$ ，且在区间 $[1 ， 2]$ 上是增函数，求实数 $a$ 的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - a x + \ln x$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、记 $F (x) = f (x) - \frac{1}{2} x^{2} + a x - \frac{a}{1 + x}$ ，若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是函数 $F (x)$ 的两个极值点，求证： $F (x_{1}) + F (x_{2}) - (x_{1} + x_{2}) = 2$ ．

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