陕西省2021年中考数学模拟预测试卷

试卷更新日期：2021-10-19 类型：中考模拟

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一、单选题

1. -2021的倒数是（）

A、2021 B、 $\frac{1}{2021}$ C、-2021 D、 $- \frac{1}{2021}$

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2. 下列四个图形中是三棱柱的表面展开图的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 将一块含30°角的直角三角板ABC(∠C=90°，∠B=30°)和一把直尺按如图所示的位置放置，若∠CED=43°，则∠BAF的度数为（）

A、47° B、43° C、17° D、13°

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4. 《海岛算经》是我国杰出数学家刘徽留给后世最宝贵的数学遗产.书中的第一问：今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直.从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末参合.从后表却行一百二十七步，人目着地取望岛峰，亦与表末参合.问岛高及去表各几何？大致意思是：假设测量海岛，立两根表，高均为3丈，前后相距1000步，令后表与前表在同一直线上，从前表退行123步，人的眼睛贴着地面观察海岛，从后表退行127步，人的眼睛贴着地面观察海岛，问海岛高度及两表相距多远？想要解决这一问题，需要利用（）

A、全等三角形 B、相似三角形 C、勾股定理 D、垂径定理

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5. 正比例函数 $y = - 5 x$ ，当自变量 $x$ 的值增加2时，函数 $y$ 的值（）

A、减少10 B、增加10 C、减少 $\frac{1}{10}$ D、增加 $\frac{1}{10}$

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6. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ， $∠ B$ 的平分线交 $A C$ 于点 $D$ ，若 $A D = 8$ ，则 $B C$ 长为（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、6 C、 $8 \sqrt{3}$ D、8

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7. 已知一次函数 $y = (3 - 2 k) x + 6$ （ $k$ 为常数）的图象经过 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ ，若 $x_{1} > x_{2}$ ， $y_{1} < y_{2}$ ，则 $k$ 的值可能是（）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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8. 如图，菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点 $O$ ，过 $O$ 作 $O E ⊥ A B$ 于点 $E$ ，延长 $E O$ 交 $C D$ 于点 $F$ ，若 $A C = 8$ ， $B D = 6$ ，则 $E F$ 的值为（）

A、5 B、 $\frac{12}{5}$ C、 $\frac{24}{5}$ D、 $\frac{48}{5}$

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9. 如图，AB为 $⊙ O$ 的直径，点C为AB上一点，点D在 $⊙ O$ 上，AD=AC，连接DC并延长交 $⊙ O$ 于点E，连接OE，若∠BAD=30°，则∠COE的度数为（）

A、30° B、35° C、40° D、45°

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10. 若抛物线 $y = x^{2} + x + m - 1$ （ $m$ 是常数）的图象经过第一、二、三象限，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m > 1$ B、 $m < \frac{5}{4}$ C、 $1 < m < \frac{5}{4}$ D、 $1 \leq m < \frac{5}{4}$

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二、填空题

11. 计算： ${(\frac{1}{2} a^{3} b)}^{2} =$ .

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12. 计算： ${(- \frac{1}{2})}^{- 1} + {(1 - π)}^{0} =$ .

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13. 抛物线 $y = 2 x^{2} + 2$ 的顶点坐标为.

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14. 如图，点 $O$ 为正八边形 $A B C D E F G H$ 的中心，则 $∠ A F O$ 的度数为.

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15. 若反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $k \neq 0$ ）的图象与正比例函数 $y = a x$ （ $a \neq 0$ ）的图象有两个交点 $A (m ， 2)$ 和 $B (3 ， n)$ ，则 $m + n$ 的值为.

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16. 我国是最早了解勾股定理的国家之一.如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，以其三边为边分别向外作正方形，即可证明勾股定理.连接 $C G$ 交 $A B$ 于点 $M$ ，连接 $C E$ ， $C H$ .若 $C H = 2 C E$ ，则 $\frac{A M}{B M}$ 的值为.

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三、解答题

17. 解不等式组： ${\begin{array}{l} x - 2 (x - 1) \leq 1 \\ \frac{1 + x}{3} > x - \frac{5}{3} \end{array}$ .

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18. 解方程： $\frac{2}{3} + \frac{x}{3x - 1} = \frac{1}{9x - 3}$ .

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19. 如图，已知 $⊙ O$ ，点 $A$ 在圆上，请以 $A$ 为一顶点作圆内接正方形 $A B C D$ .（保留作图痕迹，不写作法）

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20. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B // C D$ ，连接 $B D$ ，点 $E$ 在 $B D$ 上，连接 $C E$ ，若 $∠ 1 = ∠ 2$ ， $A B = E D$ ，求证： $D B = C D$ .

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21. 在一次“爱心助学”捐款活动中，全校同学人人拿出自己的零花钱，踊跃捐款，学生捐款额有5元、10元、15元、20元四种情况.刘老师在全校范围内随机抽取部分学生捐款数据，并根据统计数据绘制成图①和图②两幅尚不完整的统计图.
请你根据统计图提供的信息，回答下列问题：

(1)、本次共抽取学生 ▲ 人，并请将图②的条形统计图补充完整；

(2)、学生捐款的众数是，中位数是；

(3)、若全校共有学生1260人，请你估计此次全校学生的捐款总额.

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22. 如图，图②是图①秋千的侧面示意图，秋千的静止状态为 $O C$ ，已知 $A B$ 与地面平行， $O D$ 、 $O E$ 是其在摆动过程中的两个位置，从 $O$ 处测的 $D$ ， $E$ 两点的俯角分别为65°和40°（即 $∠ A O D = 65 °$ ， $∠ B O E = 40 °$ ），这时点 $E$ 相对于点 $D$ 秋千升高了 $30 cm$ （即 $E N - D M = 30 cm$ ，其中 $D M ⊥ M N$ 于 $M$ ， $E N ⊥ M N$ 于 $N$ ），求该秋千摆绳 $O C$ 的长度.（ $\sin 25 ° \approx 0.42$ ， $\cos 25 ° \approx 0.91$ ， $\sin 65 ° \approx 0.91$ ， $\cos 65 ° \approx 0.42$ ， $\sin 50 ° \approx 0.77$ ， $\cos 50 ° \approx 0.64$ ， $\sin 40 ° \approx 0.64$ ， $\cos 40 ° \approx 0.77$ ，计算结果精确到 $0.1 cm$ .）

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23. 为了做好新冠防疫工作，某学校开学前备足防疫物资，准备体温枪和消毒液若干，经市场调查：购买一把体温枪20元，一瓶消毒液5元，市场上现有甲，乙两所医疗机构.甲医疗机构销售方案为：购买一把体温枪送一瓶消毒液.乙医疗机构销售方案为：购买体温枪和消毒液全部打九折.若某学校准备购买50把体温枪，购买消毒液 $m$ 瓶（ $m > 50$ ）.

(1)、分别写出按甲医疗机构销售方案购买费用 $y_{1}$ （元）、按乙医疗机构销售方案购买费用 $y_{2}$ （元）与购买消毒液 $m$ （瓶）之间的函数关系式；

(2)、当 $m = 60$ 时，甲、乙两家医疗机构哪家购买费用比较合算.

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24. 刘老师将1个红球和若干个黄球放入一个不透明的口袋中并搅匀，这些球除颜色不同外其余都相同.他让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球，记下颜色后，放回搅匀，经过多次实验发现，从袋中摸出一个球是红球的频率稳定在0.25附近.

(1)、估算袋中黄球的个数；

(2)、在（1）的条件下，小强同学从中任意摸出一个球，放回并摇匀，再摸一次球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出黄球的概率.

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25. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径， $C$ 为 $B A$ 延长线上一点，点 $D$ 在 $⊙ O$ 上，连接 $C D$ ， $A D$ ， $B D$ ，作 $O F ⊥ A D$ 于点 $E$ ，交 $C D$ 于点 $F$ ，若 $∠ A D C = ∠ A O F$ .

(1)、求证： $C D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $\tan C = \frac{1}{2}$ ， $B D = 4$ ，求 $O F$ 的长.

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26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $L$ 的对称轴为直线 $x = 1$ ，与 $x$ 轴交于点 $B (3 ， 0)$ ，且经过点 $A (2 ， - 3)$ .

(1)、求抛物线 $L$ 的表达式；

(2)、连接 $O A$ ，点 $E$ 在线段 $O A$ 上，过 $E$ 作 $E F ⊥ x$ 轴于 $F$ 点，延长 $F E$ 交抛物线 $L$ 于点 $P$ ，在直线 $O A$ 上取一点 $G$ ，使得 $△ P G E$ ≌ $△ F O E$ ，求满足条件的点 $P$ 的坐标.

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27. 如图

(1)、问题提出：
如图①， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ，过点 $C$ 作 $⊙ O$ 的切线 $l$ ，在 $l$ 上任取一个不同于点 $C$ 的点 $P$ ，连接 $P B$ 、 $P A$ ，比较 $∠ A C B$ 与 $∠ A P B$ 的大小，并说明理由.

(2)、问题探究：
如图②，正方形 $A B C D$ ，边长为2，在 $C D$ 边上是否存在点 $P$ ，使 $∠ A P B$ 最大？若存在，确定点 $P$ 的位置，并求此时 $\sin ∠ A P B$ 的值；若不存在，请说明理由.

(3)、问题解决：
如图③，四边形 $A B C D$ 为某工作室的平面示意图，线段 $B C$ 、 $C D$ 、 $D A$ 为三面墙， $M N$ 为入户门处，其中 $A D // B C$ ， $A D ⊥ A B$ ， $∠ C = 60 °$ ， $B M = A N = 4 \sqrt{3}$ 米， $B C = 30$ 米， $A D = 20$ 米.出于安全考虑，负责人想在墙上安装监控装置 $P$ ，用来监控并记录进出的人员，为了让监控效果最佳，要求 $∠ M P N$ 最大.试问在墙上是否存在一点 $P$ ，使得 $∠ M P N$ 最大？若存在，请求出此时 $\sin ∠ M P N$ 的值及 $P$ 点的位置；若不存在，请说明理由.

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