江苏省南京建邺区2021年数学中考一模试卷

试卷更新日期：2021-10-19 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 计算 $2 - | - 3 |$ 的结果是（）

A、-5 B、-1 C、1 D、5

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2. 若 $a^{2} = {(- 2)}^{2}$ ，则 $a$ 是（）

A、-2 B、2 C、-2或2 D、4

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3. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ B、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ C、 $a^{2} + a^{3} = a^{5}$ D、 $a^{3} \div a^{2} = a$

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4. 某中学各年级男、女生人数如图所示.根据图中提供的信息，下列说法错误的是（）

A、七、八年级的人数相同 B、九年级的人数最少 C、全校女生人数多于男生人数 D、八年级男生人数最少

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5. 关于 $x$ 的方程 $3 x^{2} - 7 x + 4 = 0$ 的根的情况，下列结论中正确的是（）

A、两个正根 B、两个负根 C、一个正根，一个负根 D、无实数根

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6. 已知双曲线 $y = \frac{2021}{x}$ 与直线 $y = k x + b$ 交于 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ ，若 $x_{1} + x_{2} > 0$ ， $y_{1} + y_{2} > 0$ ，则（）

A、 $k > 0$ ， $b > 0$ B、 $k > 0$ ， $b < 0$ C、 $k < 0$ ， $b > 0$ D、 $k < 0$ ， $b < 0$

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二、填空题

7. 式子 $\sqrt{2 - x}$ 在实数范围内有意义，则x的取值范围是．

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8. 根据唐玄奘《大唐西域记》中记载，“一刹那”大概是0.013秒，用科学记数法表示0.013是.

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9. 计算 $\sqrt{6} \times (\frac{1}{\sqrt{3}} - \sqrt{3})$ 的结果是.

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10. 方程 $\frac{1}{x - 3} + \frac{x}{3 - x} = 1$ 的解是.

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11. 若一个圆锥的底面圆的半径为2，其侧面展开图是半圆，则此圆锥的侧面积是.

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12. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，若它的一个外角 $∠ D C E = 122 °$ ，则另一个外角 $∠ D A F =$ $°$ .

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13. 如图， $A D$ 是正五边形 $A B C D E$ 的一条对角线，以 $C$ 为圆心， $C B$ 为半径画弧交 $A D$ 于点 $F$ ，连接 $C F$ ，则 $∠ C F D =$ $°$ .

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14. 如图，在平面直角坐标系中， $A (- 2 ， 0)$ 、 $B (2 ， 4)$ 、 $A^{'} (2 ， 6)$ 、 $B^{'} (6 ， 2)$ ，将线段 $A B$ 绕着某点旋转一个角度可以得到线段 $A^{'} B^{'}$ （ $A$ 与 $A^{'}$ ， $B$ 与 $B^{'}$ 是对应点），则旋转中心的坐标为.

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 8 \sqrt{2}$ ， $B C = 10$ ， $D E$ 是 $A C$ 的垂直平分线，分别交 $A C$ 、 $A B$ 于点 $D$ 、 $E$ ， $O$ 是线段 $D E$ 上一点，若 $O B = O C$ ， $O B ⊥ O C$ ，则 $D E =$ .

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16. 下列关于二次函数 $y = x^{2} - (m + 1) x + m$ （ $m$ 为常数）的结论：①该函数图象是开口向上的抛物线；②该函数图象一定经过点 $(1 ， 0)$ ；③该函数图象与 $x$ 轴有两个公共点；④该函数图象的顶点在函数 $y = - {(x - 1)}^{2}$ 的图象上.其中所有正确结论的序号是.

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三、解答题

17. 先化简，再求值： $\frac{x - 2}{x^{2} - 1} \div (1 - \frac{1}{x - 1})$ ，其中 $x = - 2$ .

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18. 解方程： $2 x^{2} - 3 x - 5 = 0$

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19. 解不等式组： ${\begin{matrix} 2 (x - 1) + 3 < 3 x \\ \frac{x - 2}{3} + 4 > x \end{matrix}$ ．

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20. 如图， $D$ 、 $E$ 、 $F$ 分别是 $△ A B C$ 三边中点.

(1)、求证：四边形 $A F D E$ 是平行四边形；

(2)、若四边形 $A F D E$ 是矩形， $A E = 1$ ， $A F = 2$ ，求 $B C$ 的长.

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21. 在“世界读书日”来临之际，某校为了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间t（单位：h）.整理所得数据绘制成如下不完整的统计图表，

平均每周的课外阅读时间扇形统计图

平均每周的课外阅读时间频数分布表

组别	平均每周的课外阅读时间t/h	人数
A	t＜6	16
B	6≤t＜8	a
C	8≤t＜10	b
D	t≥10	8

根据以上图表信息，解答下列问题：

(1)、这次被调查的同学共有人，a＝人；

(2)、B组所在扇形的圆心角的大小是；

(3)、该校共1200名学生，请你估计该校学生平均每周的课外阅读时间不少于8h的人数.

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22. 2021年4月16日~5月16日，第十一届江苏省园艺博览会在南京举办，博览园有两个个人参观入口：西平门、东宁门，甲、乙、丙三人分别从这2个入口中随机选择1个进入.

(1)、求乙、丙两人都从西平门入园的概率；

(2)、甲、乙、丙三人从同一个入口入园的概率是.

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23. 已知A、 $B$ 两地相距 $80 k m$ ，甲、乙两人沿同一公路从A地出发到 $B$ 地，甲骑摩托车，乙骑电动车，图中 $D E$ 、 $O C$ 分别表示甲、乙离开A地的路程 $s (k m)$ 与时间 $t (h)$ 的函数关系的图象.

(1)、乙先出发，甲后出发，相差 $h$ ；

(2)、甲骑摩托车的速度为 $60 k m / h$ ，直接写出甲离开A地后 $s (k m)$ 与时间 $t (h)$ 的函数表达式及自变量 $t$ 的取值范围；

(3)、当乙出发几小时后，两人相遇.

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24. 公交总站（A点）与B、C两个站点的位置如图所示，已知AC＝6km，∠B＝30°，∠C＝15°，求B站点离公交总站的距离即AB的长（结果保留根号）.

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25. 如图，点 $E$ 为正方形 $A B C D$ 的边 $B C$ 上的一点， $⊙ O$ 是 $△ A B E$ 的外接圆，与 $A D$ 交于点 $F$ ， $G$ 是 $C D$ 上一点，且 $∠ D G F = ∠ A E B$ .

(1)、求证： $F G$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A B = 4$ ， $D G = 1$ ，求半径 $O A$ 的长.

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26. “垃圾分类，利在千秋”.某废品回收站的废纸回收价为1.5元/千克，每天可回收100千克.回收价格每增加0.1元/千克，每天可多回收废纸40千克.如果废纸销往废品收购公司的价格为2.5元/千克，销售废纸的利润为 $W$ 元，如何定回收价可以使得当天利润不低于150元？

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27. 已知： $∠ A O C = ∠ B O C = 60 °$ ，过平面内一点 $P$ 分别向 $O A$ 、 $O B$ 、 $O C$ 画垂线，垂足分别为 $D$ 、 $E$ 、 $F$ .

(1)、（问题引入）
如图①，当点 $P$ 在射线 $O C$ 上时，求证： $O D = O E$ .

(2)、（类比探究）
如图②，当点 $P$ 在 $∠ A O C$ 内部，点 $E$ 在射线 $O B$ 上时，求证： $O D + O E = O F$ .

(3)、当点 $P$ 在 $∠ A O C$ 内部，点 $E$ 在射线 $O B$ 的反向延长线上时，在图③中画出示意图，并直接写出线段 $O D$ 、 $O E$ 、 $O F$ 之间的数量关系.

(4)、（知识拓展）
如图④， $A B$ 、 $C D$ 、 $E F$ 是 $⊙ O$ 的三条弦，都经过圆内一点 $P$ ，且 $∠ F P D = ∠ B P D = 60 °$ .判断 $P A + P D + P E$ 与 $P B + P C + P F$ 的数量关系，并证明你的结论.

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