上海市2022届高三上学期数学一模暨春考模拟试卷

试卷更新日期：2021-10-19 类型：高考模拟

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一、填空题

1. 已知集合 $U = {x | x^{2} - 8 x - 9 \leq 0 ， x \in Z}$ ， $A = {y | y = \sqrt{- x^{2} + 8 x + 9} ， y \in Z}$ ，则 $∁_{U} A =$ .

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2. 已知一个关于 $x$ 、 $y$ 的二元一次方程组的增广矩阵是 $(\begin{matrix} 1 & - 1 & a \\ 0 & 1 & b \end{matrix})$ ，且 $a^{2} + b^{2} + 5 \leq 2 a - 4 b$ ，则 $x + y =$ ；

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3. i是虚数单位，若复数 $(1 - 2 i) (a + i)$ 是纯虚数， $z = x + a i$ ( $x \in R$ )，则 $| z |$ 的取值范围为；

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4. 若 $‖ \begin{matrix} \log_{2} x & - 1 \\ - 4 & 2 \end{matrix} ‖ = 1$ ，则 $x =$

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5. 在报名的8名男生和5名女生中，选取6人参加志愿者活动，若男生甲和女生乙不同时参加，则事件发生的概率为(结果用数值表示)．

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6. 已知圆锥的母线长为5，侧面积为20π，过此圆锥的顶点作一截面，则截面面积最大为

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7. 若二项式 ${(2 x + \frac{a}{x})}^{7}$ 的展开式中 $x$ 的三次项的系数是168，则 $\lim_{n \to + \infty} (a + a^{2} + a^{3} + \dots + a^{n}) =$

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8. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1$ ( $a > 0$ )的焦点 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，抛物线 $y^{2} = 2 p x$ 的焦点为 $F$ ，若 $\vec{F_{1} F} = 3 \vec{F F_{2}}$ ，若 $z \geq a^{2} - p^{2}$ 恒成立，则 $z$ 的取值范围为；

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9. 设 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上以2为周期的奇函数，当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = \log_{2} (x + 1)$ ，则函数 $f (x)$ 在[4，6]上的解析式是

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10. 已知 $x ， y \in R$ ，且满足 ${\begin{array}{l} \sqrt{3} x + y \leq 4 \sqrt{3} \\ \sqrt{3} x - y \geq 0 \\ y \geq 0 \end{array}$ ，若存在 $θ \in R$ 使得 $x \cos θ + (y - 2) \sin θ = 2$ 成立，则点 $P (x ， y)$ 构成的区域面积为

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11. 正三棱锥 $P - A B C$ 的所有棱长均为1，L，M，N分别为棱 $P A ， P B ， P C$ 的中点，则该正三棱锥的外接球被平面 $L M N$ 所截的截面面积为．

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12. 设 $a ， b > 0$ ，满足：关于x的方程 $\sqrt{| x |} + \sqrt{| x + a |} = b$ 恰有三个不同的实数解 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} = b$ ，则 $a + b$ 的值为．

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二、单选题

13. “ $x > - 1$ ”是“ $2^{x} \leq 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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14. 下面是关于复数 $z = \frac{2}{- 1 + i}$ 的四个命题：
① $| z | = 2$ ；② $z^{2} = 2 i$ ；③ $z$ 的共轭复数为 $1 + i$ ；④ $z$ 的虚部为-1．

其中正确的命题（）

A、②③ B、①② C、②④ D、③④

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15. 将函数 $y = \sin (2 x - \frac{π}{3})$ 图象上的点 $P (\frac{π}{4} ， t)$ 向左平移s（ $s > 0$ ）个单位长度得到点 $P'$ ，若 $P'$ 位于函数 $y = \sin 2 x$ 的图象上，则（）

A、 $t = \frac{1}{2}$ ，s的最小值为 $\frac{π}{6}$ B、 $t = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，s的最小值为 $\frac{π}{6}$ C、 $t = \frac{1}{2}$ ，s的最小值为 $\frac{π}{3}$ D、 $t = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，s的最小值为 $\frac{π}{3}$

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16. 在平面直角坐标系中，定义 $d (A ， B) = \max {| x_{1} - x_{2} | ， | y_{1} - y_{2} |}$ 为两点 $A (x_{1} ， y_{1})$ 、
$B (x_{2} ， y_{2})$ 的“切比雪夫距离”，又设点 $P$ 及 $l$ 上任意一点 $Q$ ，称 $d (P ， Q)$ 的最小值为点 $P$ 到

直线 $l$ 的“切比雪夫距离”，记作 $d (P ， l)$ ，给出下列三个命题：

① 对任意三点A、B、C，都有 $d (C ， A) + d (C ， B) \geq d (A ， B)$ ；② 已知点 $P (3 ， 1)$ 和直线 $l ： 2 x - y - 1 = 0$ ，则 $d (P ， l) = \frac{4}{3}$ ；③ 定点 $F_{1} (- c ， 0)$ 、 $F_{2} (c ， 0)$ ，动点 $P (x ， y)$ 满足 $| d (P ， F_{1}) - d (P ， F_{2}) | = 2 a$ （ $2 c > 2 a > 0$ ），则点 $P$ 的轨迹与直线 $y = k$ （ $k$ 为常数）有且仅有2个公共点；

其中真命题的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中， $\sin A = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ．求 $\cos B + \sqrt{2} \cos C$ 的取值范围．

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $B C // A D$ ， $A B ⊥ B C$ ， $∠ A D C = 45 °$ ， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B = A P = 1$ ， $A D = 3$ ．

(1)、求点 $D$ 到平面 $P B C$ 的距离；

(2)、求二面角 $B - P C - D$ 的平面角的余弦值．

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19. 已知点 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 依次为双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左、右焦点，且 $| F_{1} F_{2} | = 6$ ， $B_{1} (0 ， - b)$ ， $B_{2} (0 ， b)$ ．

(1)、若 $a = \sqrt{5}$ ，以 $\vec{d} = (3 ， - 4)$ 为方向向量的直线 $l$ 经过 $B_{1}$ ，求 $F_{2}$ 到 $l$ 的距离；

(2)、若双曲线 $C$ 上存在点 $P$ ，使得 $\vec{B_{1} P} \cdot \vec{B_{2} P} = - 2$ ，求实数 $b$ 的取值范围．

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20. 已知下表为函数

f (x) = a x^{3} + c x + d

部分自变量取值及其对应函数值，为了便于研究，相关函数值取非整数值时，取值精确到0.01.

$x$	0.61	-0.59	-0.56	-0.35	0	0.26	0.42	1.57	3.27
$f (x)$	0.07	0.02	-0.03	-0.22	0	0.21	0.20	-10.04	-101.63

据表中数据，研究该函数的一些性质；

(1)、判断函数

f (x)

的奇偶性，并证明；

(2)、判断函数

f (x)

在区间[0.55，0.6]上是否存在零点，并说明理由；

(3)、判断

a

的正负，并证明函数

f (x)

在

(- \infty ， - 0.35]

上是单调递减函数.

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21. 对于数列 $A$ ： $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ( $a_{i} \in N$ ， $i = 1 ， 2 ， 3$ )，定义“ $T$ 变换”： $T$ 将数列 $A$ 变换成数列 $B$ ： $b_{1}$ ， $b_{2}$ ， $b_{3}$ ，其中 $b_{i} = | a_{i} - a_{i + 1} |$ ( $i = 1 ， 2$ )，且 $b_{3} = | a_{3} - a_{1} |$ ．这种 $T$ 变换“记作 $B = T (A)$ ．
继续对数列 $B$ 进行“ $T$ 变换”，得到数列 $C$ ： $c_{1}$ ， $c_{2}$ ， $c_{3}$ ，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．

(1)、试问 $A$ ：2，6，4经过不断的“ $T$ 变换”能否结束？若能，请依次写出经过“ $T$ 变换”得到的各数列；若不能，说明理由；

(2)、设 $A$ ： $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $B = T (A)$ ．若 $B$ ： $b$ ，2， $a$ ( $a \geq b$ )，且 $B$ 的各项之和为2012．求 $a$ ， $b$ ；

(3)、在（2）的条件下，若数列 $B$ 再经过 $k$ 次“ $T$ 变换”得到的数列各项之和最小，求 $k$ 的最小值，并说明理由．

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