河南省南阳市中原名校2020-2021学年数学中考第二次大联考试卷

试卷更新日期：2021-10-19 类型：中考模拟

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一、单选题

1. ﹣2的绝对值是（）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、-2

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2. 2021年3月5日，李克强总理在政府工作报告中指出，过去五年，我国国民生产总值从不到70万亿元增加到了100万亿元.100万亿用科学记数法表示正确的是（）

A、 $0.1 \times 10^{5}$ B、 $1 \times 10^{15}$ C、 $1 \times 10^{14}$ D、 $10 \times 10^{14}$

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{12} - \sqrt{3} = \sqrt{3}$ B、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2}$ C、 ${(- a^{2})}^{3} = a^{6}$ D、 $a^{2} + a^{2} = a^{4}$

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4. 在体育模拟测试中，某班10名学生的成绩分别是60，58，62，66，68，66，67，63，69，65，这组数据的众数和中位数分别是（）

A、66，65 B、66， $65.5$ C、66，66 D、66，67

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5. 如图， $A B // C D$ ， $E G$ 平分 $∠ B E F$ 交 $C D$ 于点 $G$ .若 $∠ E F C = 82 °$ ，则 $∠ E G F$ 的度数为（）

A、36° B、41° C、46° D、51°

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6. 下列关于二次函数 $y = - x^{2} + 4 x + 3$ 的说法正确的是（）

A、该函数图象的开口向上 B、该函数图象的顶点坐标为 $(2 ， 3)$ C、当 $x < 2$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小 D、该函数的最大值为7

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7. 某校初三年级举行班级篮球友谊赛，每两个班都要进行一场比赛，张老师告诉小丽总共要进行120场比赛，小丽想通过列方程求出参与比赛的班级数.设参与比赛的班级有 $x$ 个，则所列方程正确的是（）

A、 $x (x + 1) = 120$ B、 $\frac{1}{2} x (x + 1) = 120$ C、 $x (x - 1) = 120$ D、 $\frac{1}{2} x (x - 1) = 120$

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8. 如图，四边形 $A B C D$ 中， $A D // B C$ ， $A D = 2$ ， $B C = 5$ ，点 $E$ ， $F$ 分别是对角线 $A C$ ， $B D$ 的中点，则 $E F$ 的长为（）

A、1 B、1.5 C、2.5 D、3.5

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9. 如图，点 $A$ ， $B$ 都在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上， $A B$ 的延长线交 $x$ 轴于点 $C$ .已知 $A B = B C$ ， $△ A O C$ 的面积为6，则 $k$ 的值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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10. 如图，等边三角形 $A B C$ 中， $A B = 3$ ，点 $D$ 在边 $A B$ 上，且 $A D = 1$ ，点 $E$ 是边 $B C$ 上的一动点，作射线 $E D$ .射线 $E D$ 绕点 $E$ 顺时针旋转60°得到射线 $E F$ ，交 $A C$ 于点 $F$ ，则点 $E$ 从 $B \to C$ 的运动过程中， $C F$ 的最大值是（）

A、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{3}$ B、1 C、 $\frac{9}{8}$ D、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$

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二、填空题

11. 计算： $2^{2} + \sqrt{{(- 3)}^{2}} =$ .

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12. 不等式 $3 x - 5 > x - 1$ 的最小整数解是.

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13. 如图， $△ A B C$ 的三个内角满足 $∠ A = \frac{1}{2} ∠ B = \frac{1}{3} ∠ C$ .分别以点 $A$ ， $C$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} A C$ 的长为半径作弧，两弧交于点 $E$ ， $F$ ，作直线 $E F$ 交 $A B$ 于点 $D$ ，连接 $C D$ .若 $C D = 2$ ，则 $A C =$ .

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14. 五张完全相同的卡片上分别写有数字1， $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}$ ，2， $\sqrt{5}$ .闭上眼睛洗匀后随机抽取三张，以卡片上的数字作为三角形的三边，所得三角形恰好是直角三角形的概率为.

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15. 如图，在平面直角坐标系中， $A (0 ， 1)$ ， $B (5 ， 0)$ ，以 $A B$ 为斜边作等腰直角三角形 $A B C$ ，则点 $C$ 的坐标为.

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三、解答题

16. 先化简，再求值： $(\frac{2}{a - 2} - \frac{1}{a}) \div \frac{a + 2}{a}$ ，其中 $a = 2 + \sqrt{5}$ .

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17. 近几年，研学旅行已成为中小学广泛开展的课外拓展活动.某学校认真策划研学旅行活动，有针对性地开发了自然、历史、地理、科技、人文、体验等六种类型的活动课程.为了了解同学们选择课程的情况，校园小记者随机调查了本校部分同学，根据调查结果绘制出了如下两个尚不完整的统计图.

请结合图中所给信息，解答下列问题：

(1)、这次被调查的学生共有人；

(2)、求扇形统计图中“历史”所对应的圆心角的度数，并补全条形统计图；

(3)、若全校共有5000人，请你估计选择“体验”类课程的学生人数.

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18. 位于河南省登封市境内的嵩岳寺塔是中国现存最早的砖塔，反映了中外建筑文化交流融合创新的历程，在结构、造型等方面具有很大价值，对后世砖塔建筑有着巨大影响.

清明假期，小红利用所学知识来测量塔的高度，测角仪和塔底 $A$ 在同一水平面，如图，她先在 $C$ 处测得塔顶 $B$ 的仰角为57°，然后沿直线 $A C$ 向远离塔的方向前进20米到达 $D$ 处，测得塔顶 $B$ 的仰角为40°.求嵩岳寺塔的高度.（结果精确到 $1 m$ .参考数据： $\sin 40 ° \approx 0.64$ ， $\cos 40 ° \approx 0.77$ ， $\tan 40 ° \approx 0.84$ ， $\sin 57 ° \approx 0.84$ ， $\cos 57 ° \approx 0.54$ ， $\tan 57 ° \approx 1.54$ ）

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19. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，点 $E$ 是 $B C$ 的中点.以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $A C$ 于点 $D$ ，连接 $D E$ .

(1)、求证： $D E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $∠ A = 60 °$ ， $A B = 4$ ，求阴影部分的面积.

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20. 为了保障羊肉正常供应，某畜牧集团的 $A$ ， $B$ 两个养殖场共出栏肥羊2000只， $B$ 养殖场的肥羊数量是 $A$ 养殖场的2倍少400只.这批肥羊将运往甲地1300只，乙地700只，运费如下表（单位：元/只）

养殖场

目的地

$A$

$B$

甲

25

18

乙

20

24

(1)、求 $A$ ， $B$ 养殖场各出栏多少只肥羊？

(2)、设这批肥羊从 $A$ 养殖场运往甲地 $x$ 只 $(100 \leq x \leq 700)$ ，全部运往甲、乙两地的总费用为 $y$ 元，求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；

(3)、当每只肥羊的运费下降 $a$ 元（ $0 < a \leq 18$ 且 $a$ 为整数）时，按（2）中设计的调运方案，总运费不超过30000元，求 $a$ 的最小值.

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21. 如图，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ 和点 $B (1 ， 0)$ ，交 $y$ 轴于点 $C$ ，连接 $A C$ ， $B C$ ，已知 $O A = 2 O C$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{21}{2}$ .

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点 $P$ 是直线 $A C$ 上方抛物线上一动点，过点 $P$ 作 $P Q // y$ 轴，交直线 $A C$ 于点 $Q$ .抛物线上是否存在点 $P$ ，使以 $P$ ， $Q$ ， $O$ ， $C$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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22. 在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，点 $D$ 是 $A B$ 的中点， $E$ 为直线 $A C$ 上一动点，连接 $D E$ .过点 $D$ 作 $D F ⊥ D E$ ，交直线 $B C$ 于点 $F$ ，连接 $E F$ .

(1)、如图1，若 $A C = B C$ ，当点 $E$ 在边 $A C$ 上， $A E = 4$ ， $B F = 2$ 时， $E F =$ ；

(2)、如图2，若 $A C = B C$ ，当点 $E$ 在 $A C$ 的延长线上时，设 $A E = m$ ， $B F = n$ ，求 $E F$ 的长（用含 $m$ ， $n$ 的式子表示）；

(3)、如图3，若 $A C \neq B C$ ，当点 $E$ 在 $C A$ 的延长线上时，用等式表示线段 $A E$ ， $E F$ ， $B F$ 之间的数量关系，并证明.

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23. 小亮在学习中遇到如下一个问题：

如图1，点 $C$ 是半圆 $A m B$ 上一动点，线段 $A B = 6$ ， $C D$ 平分 $∠ A C B$ ，过点 $A$ 作 $A D // B C$ 交 $C D$ 于点 $D$ ，连接 $B D$ .当 $△ B C D$ 为等腰三角形时，求线段 $A C$ 的长度.

小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是他尝试结合学习函数的经验研究此问题.将线段 $A C$ 的长度作为自变量 $x$ ， $B C$ ， $B D$ 和 $C D$ 的长度都是 $x$ 的函数，分别记为 $y_{B C}$ ， $y_{B D}$ 和 $y_{C D}$ .请将下面的探究过程补充完整：

(1)、根据点

C

在半圆

A m B

上的不同位置，画出相应的图形，测量线段

A C

，

B C

，

B D

的长度，得到下表的几组对应值：

$A C$	0	1.0	2.0	3.0	4.0	4.5	5.0	5.5	6
$B C$	6	5.9	5.7	5.2	4.5	$a$	3.3	2.4	0
$B D$	6	5.0	4.2	3.7	4	4.5	5.3	6.3	8.5

①上表中 $a$ 的值是 ▲ ；

②操作中发现，“无需测量线段 $C D$ 的长度即可得到 $y_{C D}$ 关于 $x$ 的函数解析式”.请直接写出 $y_{C D}$ 关于 $x$ 的函数解析式.

(2)、小亮已在平面直角坐标系

x O y

中画出了函数

y_{B D}

的图象，如图2所示.

①请在同一坐标系中画出函数 $y_{B C}$ 和 $y_{C D}$ 的图象；

②结合图象直接写出当 $△ B C D$ 为等腰三角形时，线段 $A C$ 长度的近似值（结果保留一位小数）

(3)、小亮观察发现，函数

y_{B D}

的图象有最低点.请你直接写出线段

B D

长度的最小值（写出精确值）

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