河南省洛阳市孟津县2021年数学中考二模试卷

试卷更新日期：2021-10-19 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 在 $- \frac{1}{2}$ ， $- \frac{1}{3}$ ，-2，-1中，最小的数是（）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、-2 D、-1

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2. 图①是由五个完全相同的小正方体组成的立体图形.将图①中的一个小正方体改变位置后如图②，则三视图发生改变的是（）

A、主视图 B、俯视图 C、左视图 D、主视图、俯视图和左视图都改变

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3. 生物学家发现了一种病毒，其长度约为 $0.00000032 m m$ ，将数据0. 00000032用科学记数法表示正确的是（）

A、 $3.2 \times 10^{7}$ B、 $3.2 \times 10^{- 7}$ C、 $3.2 \times 10^{8}$ D、 $3.2 \times 10^{- 8}$

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4. 甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如下表所示，如果从这四位同学中，选出一位同学参加数学竞赛，那么应选___________去.

甲

乙

丙

丁

平均分

85

90

90

85

方差

50

42

50

42

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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5. 关于函数 $y = {(2 x + 2)}^{2} - 1$ 的图象叙述正确的是（）

A、开口向上 B、顶点 $(2 ， - 1)$ C、对称轴为直线 $x = - 2$ D、与 $y$ 轴交点为 $(0 ， - 5)$

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6. 一副三角板 $△ A B C$ 和 $△ D E F$ （ $∠ A = ∠ F D E = 90 °$ ， $∠ F = 45 °$ ， $∠ C = 60 °$ ，点 $D$ 在边 $A B$ 上）按图中所示的位置摆放，两条斜边为 $E F$ 、 $B C$ ，且 $E F // B C$ ，则 $∠ A D E$ 等于（）

A、 $45 °$ B、 $145 °$ C、 $165 °$ D、 $170 °$

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7. 一元二次方程 $x (2 x - 1) = 0$ 根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、只有一个实数根 D、没有实数根

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8. 下列计算正确的是（）

A、 $- 8 a^{7} \div 4 a = 2 a^{6}$ B、 ${(a - \frac{1}{2} b)}^{2} = a^{2} + \frac{1}{4} b^{2} - a b$ C、 ${(- a^{2})}^{3} = a^{6}$ D、 $a \div (b + c) = a \div b + a \div c$ （ $a b c \neq 0$ ）

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9. 如图，正方形ABCD的边长为10，对角线AC，BD相交于点E，点F是BC上一动点，过点E作EF的垂线，交CD于点G，设BF=x，FG=y，那么下列图象中可能表示y与x的函数关系的是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A$ ， $B$ 的坐标分别为 $(0 ， 6)$ ， $(6 ， 0)$ ，连接 $A B$ ，分别以点 $A$ ，点 $B$ 为圆心， $A B$ 长为半径画弧，两弧在第一象限交于点 $C$ .则点 $C$ 的坐标为（）

A、 $(3 \sqrt{3} + 2 ， 3 \sqrt{3} + 2)$ B、 $(3 \sqrt{2} + 3 ， 3 \sqrt{2} + 3)$ C、 $(2 \sqrt{3} + 2 ， 2 \sqrt{3} + 2)$ D、 $(3 \sqrt{3} + 3 ， 3 \sqrt{3} + 3)$

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二、填空题

11. 计算： $(3 \sqrt{2} + 1) (3 \sqrt{2} - 1) =$ .

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12. 满足不等式组 ${\begin{array}{l} x - 4 \leq 2 (x - 1) \\ \frac{1}{2} (x + 3) > x + 1 \end{array}$ 的整数解是.

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13. 在物理实验课上，同学们用三个开关，两个灯泡、一个电源及若干条导线连接成如图所示的电路图，随机闭合图中的两个开关，有一个灯泡发光的概率是.

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14. 如图，点 $O$ 为 $A B$ 中点，分别延长 $O A$ 到点 $C$ ， $O B$ 到点 $D$ ，使 $O C = O D = 2 O A = 4$ .以点 $O$ 为圆心，分别以 $O A$ ， $O C$ 为半径在 $C D$ 上方作两个半圆.点 $E$ 为小半圆上一点， $C E$ 与小半圆相切于点 $E$ ，连接 $O E$ ，将 $△ O C E$ 绕 $O$ 点顺时针旋转到 $O F B$ 的位置，则阴影部分的面积是.

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15. 如图，有一张矩形纸条 $A B C D$ ， $A B = 6 c m$ ， $B C = 2 c m$ ，点 $M$ ， $N$ 分别在边 $A B$ ， $C D$ 上， $C N = 1 c m$ .现将四边形 $B C N M$ 沿 $M N$ 折叠，使点 $B$ ， $C$ 分别落在点 $B^{'}$ ， $C^{'}$ 上当动点 $M$ 从A向点B运动的过程中，若边 $M B^{'}$ 与边CD交于点 $E$ ，则点 $E$ 相应运动的路径长为 $c m$ .

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三、解答题

16. 先化简，再求值： $\frac{x - 2}{x} \div (x - \frac{4}{x})$ ，其中x= $\sqrt{2} - 2$ .

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17. 为了解学生的课外阅读情况，某校随机抽查了部分学生阅读课外书册数的情况，并绘制出如下统计图.

(1)、通过计算并补全条形统计图；

(2)、根据随机抽查的这个结果，请估计该校1200名学生中课外阅读不少于6册书的学生人数；

(3)、若学校又补充调查了部分学生的课外阅读情况，得知这部分学生中课外阅读最少的是6册，将补充调查的情况与之前的数据合并后发现中位数并没有改变，直接写出补充调查人数的最大值.

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18. 为了测量一条两岸平行的河流宽度，三个数学兴趣小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点

A

处测得河北岸岸边的树

H

恰好在

A

的正北方向，测量方案与数据如下表：

课题	测量河流宽度
测量工具	测量角度的仪器，皮尺等
测量小组	第一小组	第二小组	第三小组
测量方案示意图
说明	点 $B$ ， $C$ 在点 $A$ 的正东方向	点 $B$ ， $D$ 在点 $A$ 的正东方向	点 $B$ 在点 $A$ 的正东方向，点 $C$ 在点 $A$ 的正西方向.
测量数据	$A B ： B C = 1 ： 2$ ， $∠ A B H = 70 °$ ， $∠ A C H = 30 °$ .	$B D = 20 m$ ， $∠ A B H = 70 °$ ， $∠ B C D = 30 °$ .	$B C = 101 m$ ， $∠ A B H = 70 °$ ， $∠ A C H = 30 °$ .

(1)、哪个小组的数据无法计算出河宽？

(2)、请选择其中一个方案及其数据求出河宽（精确到

0.1 m

）.（参考数据：

\sin 70 ° \approx 0.94

，

\cos 70 ° \approx 0.81

，

\tan 70 ° \approx 2.75

，

\sqrt{3} \approx 1.73

）.

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19. 如图， $B D$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $B C$ 与 $O A$ 相交于点 $E$ ， $A F$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $A$ ，交 $D B$ 的延长线于点 $F$ ， $∠ F = 30 °$ ， $∠ B A C = 120 °$ ， $B C = 8$ .

(1)、求 $∠ A D B$ 的度数；

(2)、求 $A C$ 的长度.

(3)、判定四边形 $A F B C$ 的形状，并证明你的结论.

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20. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = \frac{1}{2} x + 5$ 分别与 $x$ 轴、 $y$ 轴交于A、B两点，抛物线 $y = a x^{2} + b x$ （ $a \neq 0$ ）过点A.

(1)、求线段 $A B$ 的长；

(2)、若抛物线经过线段 $A B$ 上的另一点 $C$ ，且 $B C = \frac{1}{4} A C$ ，求这条抛物线的解析式；

(3)、如果抛物线的顶点 $D$ 位于 $△ A O B$ 的内部（不含边界），直接写出 $a$ 的取值范围.

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21. 汛期到来，山洪暴发，下表记录了某水库

20 h

内水位的变化情况，其中

x

表示时间（单位：

h

），

y

表示水位高度（单位：

m

），当

x = 8

（

h

）时，达到警戒水位，开始开闸放水.

$x / h$	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20
$y / m$	14	15	16	17	18	14.4	12	10.3	9	8	7.2

(1)、在给出的平面直角坐标系中，根据表格中的数据画出水位变化图象，并写出水位高出16米的时间

x

的取值范围 ▲ .（精确到0.1）

(2)、请分别求出开闸放水前和放水后最符合表中数据的函数解析式.

(3)、据估计，开闸放水后，水位的这种变化规律还会持续一段时间，预测何时水位达到

6 m

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22. 为了加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批 $A$ 、 $B$ 两种型号的一体机，经过市场调查发现，今年每套 $B$ 型一体机的价格比每套 $A$ 型一体机的价格多0.6万元，且用960万元恰好能购买500套 $A$ 型一体机和200套 $B$ 型一体机.

(1)、求今年每套 $A$ 型、 $B$ 型一体机的价格各是多少万元

(2)、该市明年计划采购 $A$ 型、 $B$ 型一体机1100套，考虑物价因素，预计明年每套 $A$ 型一体机的价格比今年上涨25%，每套 $B$ 型一体机的价格不变，若购买 $B$ 型一体机的总费用不低于购买 $A$ 型一体机的总费用，那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划？

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23. （阅读理解）
截长补短法，是初中数学几何题中一种输助线的添加方法，截长就是在长边上载取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题.

(1)、如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系.
解题思路：延长DC到点E，使CE＝BD.连接AE，根据∠BAC＋∠BDC＝180°，可证∠ABD＝∠ACE，易证得△ABD≌△ACE，得出△ADE是等边三角形，所以AD＝DE，从而探寻线段DA、DB、DC之间的数量关系.

根据上述解题思路，请直接写出DA、DB、DC之间的数量关系是

(2)、（拓展延伸）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC.若点D是边BC下方一点，∠BDC＝90°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系，并说明理由；

(3)、（知识应用）如图3，一副三角尺斜边长都为14cm，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角尺的直角顶点之间的距离PQ的长为cm.

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	甲	乙	丙	丁
平均分	85	90	90	85
方差	50	42	50	42