辽宁省辽东南协作体2021-2022学年高一上学期数学第一次月考试卷

试卷更新日期：2021-10-19 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | x < 1$ 或 $x > 4}$ ， $N = [- 1 ， + \infty)$ ，则 $M \cap N$ 等于（）

A、 $(- \infty ， + \infty)$ B、 $(- 1 ， 1) \cup (4 ， + \infty)$ C、 $\emptyset$ D、 $[- 1 ， 1) \cup (4 ， + \infty)$

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2. 若 $x ， y$ 满足 $- \frac{π}{4} < x < y < \frac{π}{4}$ ，则 $x - y$ 的取值范围是（）

A、 $(- \frac{π}{2} ， 0)$ B、 $(- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2})$ C、 $(- \frac{π}{4} ， 0)$ D、 $(- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4})$

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3. 已知集合 $A = {(x ， y) | y = x^{2}}$ ， $B = {(x ， y) | y = x}$ ，则集合 $A \cap B$ 中元素的个数为（）

A、3 B、2 C、1 D、0

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4. 设x∈R，则x＞2的一个必要而不充分条件是（）

A、x＞1 B、x＜1 C、x＞3 D、x＜3

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5. “ $| x | < 1$ ”是“ $x^{2} - 2 x - 3 < 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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6. 已知 $x \in R ， M = 2 x^{2} - 1 ， N = 4 x - 6$ ，则 $M ， N$ 的大小关系是（）

A、 $M > N$ B、 $M < N$ C、 $M = N$ D、不能确定

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7. 关于 $x$ 的不等式 $(a x - b) (x + 3) < 0$ 的解集为 $(- \infty ， - 3) \cup (1 ， + \infty)$ ，则关于 $x$ 的不等式 $a x + b < 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， - 1)$ B、 $(- 1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 1)$ D、 $(1 ， + \infty)$

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8. 《九章算术》记载了一个方程的问题，译为：今有上禾6束，减损其中之“实”十八升，与下禾10束之“实”相当；下禾15束，减损其中之“实”五升，与上禾5束之“实”相当.问上､下禾每束之实各为多少升？设上下禾每束之实各为 $x$ 升和 $y$ 升，则可列方程组为（）

A、 ${\begin{matrix} 6 x + 18 = 10 y \\ 15 y + 5 = 5 x \end{matrix}$ B、 ${\begin{matrix} 6 x - 18 = 10 y \\ 15 y - 5 = 5 x \end{matrix}$ C、 ${\begin{matrix} 6 x - 18 = 15 y \\ 15 y - 5 = 5 x \end{matrix}$ D、 ${\begin{matrix} 6 x + 18 = 15 y \\ 15 y + 5 = 5 x \end{matrix}$

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二、多选题

9. 已知a，b，c，d均为实数，下列不等关系推导不成立的是（）

A、若 $a > b$ ， $c < d$ ，则 $a + c > b + d$ B、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a c > b d$ C、若 $b c - a d > 0$ ， $\frac{c}{a} - \frac{d}{b} > 0$ ，则 $a b < 0$ D、若 $a > b > 0$ ， $c > d > 0$ ，则 $\sqrt{\frac{a}{d}} > \sqrt{\frac{b}{c}}$

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10. 当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”．对于集合 $M = {x | a x^{2} - 1 = 0 ， a > 0}$ ， $N = {\frac{1}{2} ， 1}$ ，若 $M$ 与 $N$ “相交”，则a可能等于（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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11. 下列不等式不一定成立的是（）

A、x＋ $\frac{1}{x}$ ≥2 B、 $\frac{x^{2} + 2}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ ≥ $\sqrt{2}$ C、 $x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \geq 2$ D、2－3x－ $\frac{4}{x}$ ≥2

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12. 下列说法正确的是（）

A、“ $a + 1 > b$ ”是“ $a > b$ ”的一个必要不充分条件； B、若集合 $A = {x | a x^{2} + a x + 1 = 0}$ 中只有一个元素，则 $a = 4$ 或 $a = 0$ ； C、已知 $p ： \forall x \in R ， \frac{1}{x - 2} > 0$ ，则 $\neg p ： \exists x_{0} \in R ， \frac{1}{x_{0} - 2} \leq 0$ ； D、已知集合 $M = {0 ， 1}$ ，则满足条件 $M \cup N = M$ 的集合N的个数为4．

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三、填空题

13. 比较大小： $\sqrt{6} + \sqrt{7}$ $2 \sqrt{2} + \sqrt{5}$ （用“>”或“<”符号填空）．

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14. 已知方程组 ${\begin{array}{l} x - y = 2 \\ y - z = 3 \\ z + x = 1 \end{array}$ 的解也是方程 $3 x + m y + 2 z = 0$ 的解，则m的值为.

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15. 已知一元二次方程x²＋ax＋1＝0的一个根在(0，1)内，另一个根在(1，2)内，则实数a的取值范围为．

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16. 已知 $a ， b$ 是方程 $x^{2} - 6 x + 4 = 0$ 的两个实数根，且 $a > b > 0$ ，则 $\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} =$ ．

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四、解答题

17. 已知方程 $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 的两根为 $x_{1}$ 与 $x_{2}$ ，求下列各式的值：

(1)、 $x_{1}^{3} + x_{2}^{3}$ ；

(2)、 $\frac{x_{2}}{x_{1}} + \frac{x_{1}}{x_{2}}$ .

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18. 在① $A \cup B = B$ ；②“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的充分不必要条件；③ $A \cap B = \emptyset$ 这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题.
问题：已知集合 $A = {x | a - 1 \leq x \leq a + 1}$ ， $B = {x | - 1 \leq x \leq 3}$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $A \cup B$ ；

(2)、若 ▲ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} - 3 x + b > 0$ 的解集为 ${x | x < 1$ 或 $x > 2}$ ．

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、当 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且满足 $\frac{a}{x} + \frac{b}{y} = 1$ 时，有 $2 x + y \geq k^{2} + k + 2$ 恒成立，求 $k$ 的取值范围．

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20. 如下图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.

(1)、现有可围36m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？最大面积为多少？

(2)、若使每间虎笼面积为24 $m^{2}$ ，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？

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21. 已知 $p ： x^{2} - 7 x + 10 < 0$ ， $q ： x^{2} - 4 m x + 3 m^{2} < 0$ ，其中 $m > 0$ ．

(1)、若 $m = 4$ ，且p，q均为真，求x的取值范围 $；$

(2)、若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

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22. 已知 $x_{1} ， x_{2}$ 是一元二次方程 $4 k x^{2} - 4 k x + k + 1 = 0$ 的两个实数根．

(1)、是否存在实数 $k$ ，使 $(2 x_{1} - x_{2}) (x_{1} - 2 x_{2}) = - \frac{3}{2}$ 成立？若存在，求出 $k$ 的值，若不存在，请说明理由；

(2)、若 $k$ 是整数，求使 $\frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}} - 2$ 的值为整数的所有 $k$ 的值．

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