福建省2021年九年级下学期百校联考（诊断卷二）数学试卷

试卷更新日期：2021-10-19 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 2020的倒数是（）

A、 $\frac{1}{2020}$ B、 $- \frac{1}{2020}$ C、2020 D、-2020

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2. 一种新型冠状病毒的直径为 $178 nm$ ，呈球形或椭圆形，具有多形性.如果 $1 nm = 10^{- 9}$ 米，那么这种新型冠状病毒的直径约为（）

A、 $17.8 \times 10^{- 8}$ 米 B、 $1.78 \times 10^{- 7}$ 米 C、 $1.78 \times 10^{- 6}$ 米 D、 $- 1.78 \times 10^{- 8}$ 米

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3. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、赵爽弦图 B、笛卡尔心形线 C、科克曲线 D、斐波那契螺旋线

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4. 鲁班锁，民间也称作孔明锁，八卦锁，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构.如图是鲁班锁的其中一个部件，它的左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 一个多边形的外角和是其内角和的 $\frac{2}{m}$ 倍（ $m$ 为正整数），则该多边形的边数是（）

A、 $m$ B、 $m + 1$ C、 $m + 2$ D、 $m - 2$

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6. 若k为正整数，则 ${(\underset{k 个 k}{\underset{︸}{k + k + \cdot \cdot \cdot + k}})}^{k} =$ （）

A、 $k^{2 k}$ B、 $k^{2 k + 1}$ C、 $2 k^{k}$ D、 $k^{2 + k}$

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7. 在Rt $△$ ABC中，∠C＝90º，下列关系式中错误的是（）

A、BC＝AB•sinA B、BC＝AC•tanA C、AC＝BC•tanB D、AC＝AB•cosB

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8. 随着智能手机的普及，“支付宝支付”和“微信支付”等手机支付方式倍受广大消费者的青睐，某商场对2019年7−12月中使用这两种手机支付方式的情况进行统计，得到如图所示的折线图，根据统计图中的信息，得出以下四个推断，其中不合理的是（）

A、6个月中使用“微信支付”的总次数比使用“支付宝支付”的总次数多； B、6个月中使用“微信支付”的消费总额比使用“支付宝支付”的消费总额大； C、6个月中11月份使用手机支付的总次数最多； D、9月份平均每天使用手机支付的次数比12月份平均每天使用手机支付的次数多；

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9. 将等腰直角三角板ABC与量角器按如图方式放置，其中A为半圆形量角器的O刻度线，直角边BC与量角器相切于点D，斜边AB与量角器相交于点E，若量角器在点D的读数为120°，则量角器在点E的读数是（）

A、130° B、135° C、150° D、160°

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10. 已知 $A (- 1 ， m)$ ， $B (0 ， n)$ ， $C (2 ， n + 1)$ ， $D (3 ， m)$ 四个点中只有一个点不在二次函数 $y = a x^{2} - 2 a x + c$ 的图象上.下列关于这个点的说法中，正确的是（）

A、这个点一定是点 $A$ B、这个点一定是点 $B$ C、这个点一定是 $A$ ， $D$ 中某一点 D、这个点一定是 $B$ ， $C$ 中的某一点

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二、填空题

11. 因式分解：4a²﹣1＝.

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12. 我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”：粮仓开仓收粮，有人送来谷米1608石，验得其中夹有谷粒.现从中抽取谷米一把，共数得256粒，其中夹有谷粒32粒，则这批谷米内夹有谷粒约是石.

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13. 数轴上，点 $P$ 从 $A$ 点出发沿数轴向右运动4个单位长度后与点 $B$ 重合，若 $A$ ， $B$ 两点对应的数互为相反数，则点 $A$ 表示的数为.

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14. 某班对学生的中考体育选考情况进行调研（每人都从以下三项中选两项），数据如下：

科目

50米跑

1分钟跳绳

立定跳远

选考人数（人）

37

15

32

则该班学生中选50米跑和立定跳远的共有人.

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15. 如图， $A B = C D = D E = 2$ ， $∠ B = ∠ B C D = ∠ D = 90 °$ ，以 $D$ 为圆心， $D C$ 为半径画弧交 $A E$ 与点 $F$ ，设图中两块阴影部分面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，则 $S_{1} - S_{2} =$ .

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16. 如图，直线 $y = - x + m (m > 0)$ 与双曲线 $y = \frac{1}{x} (x > 0)$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，连接 $O A$ 、 $O B$ ， $A M ⊥ y$ 轴于 $M$ ， $B N ⊥ x$ 轴于 $N$ ，设 $O A$ ， $O B$ 的解析式分别为 $y = a x$ ， $y = b x$ ，现有以下结论：
① $m > 2$ ；② $A M + B N = A B$ ；③若 $∠ A O B = 45 °$ ，则 $S_{△ A O B} = 1$ ；④ $a + b$ 有最小值.

其中正确的是.（写出所有正确结论的序号）

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三、解答题

17. 解方程组 ${\begin{array}{l} 2 x - y = 7 ， \\ 3 x + y = 3. \end{array}$

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18. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $B F ＝ C E$ .求证： $A E ＝ D F$ .

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19. 先化简，再求值： $(\frac{a^{2}}{a - 2} - \frac{1}{a - 2}) \div \frac{a^{2} - 2 a + 1}{a - 2}$ ，其中 $a = \sqrt{2} + 1$ .

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20. 疫情期间为了满足测温的需求，某学校决定购进一批额温枪.经了解市场，购买 $A$ 种品牌的额温枪每支300元， $B$ 种品牌的额温枪每支350元.经与商家协商， $A$ 种品牌的额温枪降价15%， $B$ 种品牌的额温枪打八折销售.若购买两种品牌的额温枪共50支且总费用不超过13000元，则至少要购买 $A$ 种品牌的额温枪多少支？

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21. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ A = 80 °$ ，点 $D$ 、 $E$ 分别在边 $A B$ 、 $A C$ 上，且 $D A = D E = C E$ .

(1)、求 $∠ A D E$ 的度数；

(2)、将 $△ E A D$ 绕点 $E$ 逆时针旋转100°，点 $A$ 的对应点为点 $F$ ，连接 $B F$ ，求证：四边形 $B D E F$ 为平行四边形.

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22. 越野汽车轮胎的质量是根据其正常使用的时间来衡量，使用时间越长，表明质量越好，且使用时间大于或等于7千小时的为优质品，否则为普通品.某汽修店对 $A$ ， $B$ 两种不同型号的汽车轮胎做试验，各随机抽取部分产品作为样本，得到试验结果的扇形统计图和折线图如图所示.

根据上述调查数据，解决下列问题：

(1)、现从仓库中大量的 $A$ ， $B$ 两种型号的轮胎中各随机抽取1件产品，求其中至少有1件是优质品的概率；

(2)、汽修店对轮胎实行“三包”，根据多年销售经验可知，轮胎每件产品的利润 $y$ （单位：元）与其使用时间 $t$ （单位：千小时）的关系如表：

使用时间 $t$ （单位：千小时）

$t \leq 5$

$5 < t \leq 6$

$t > 6$

每件产品的利润 $y$ （单位：元）

-200

200

400

请从平均利润角度考虑，该汽修店应选择销售哪种轮胎，说明理由.

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23. 如图，菱形 $A B C D$ 中， $∠ B = 60 °$ ， $A C$ 为对角线， $P$ 是边 $B C$ 延长线上一点，连接 $A P$ .

(1)、在线段 $A P$ 上求作点 $M$ ，使得 $∠ A M C = 120 °$ （要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法）；

(2)、在（1）的作图条件下，直线 $A B$ 交直线 $C M$ 与点 $Q$ ，求证： $P$ ， $D$ ， $Q$ 三点共线.

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24. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，对角线 $A C ⊥ B D$ ，垂足为 $E$ ， $C F ⊥ A B$ 于点 $F$ ，直线 $C F$ 与直线 $B D$ 于点 $G$ .

(1)、若点 $G$ 在 $⊙ O$ 内，如图1，求证： $G$ 和 $D$ 关于直线 $A C$ 对称；

(2)、连接 $A G$ ，若 $A G = B C$ ，且 $A G$ 与 $⊙ O$ 相切，如图2，求 $∠ A B C$ 的度数.

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25. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x (a > 0)$ 上有且只有三个点到 $x$ 轴的距离为 $\frac{1}{16}$ .

(1)、求 $a$ ， $b$ 应满足的关系式；

(2)、该抛物线上任意两点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ ，当 $(x_{1} - \frac{1}{2}) (x_{2} - \frac{1}{2}) > 0$ 时，总有 $y_{1} \neq y_{2}$ .
①求抛物线的解析式；

②当点 $A$ ， $B$ 在第一象限时，射线 $A O$ ， $B O$ 分别交直线 $y = - 2$ 于 $C$ ， $D$ 两点，若 $C$ ， $D$ 两点的横坐标之积为8，求证：直线 $A B$ 过定点.

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科目	50米跑	1分钟跳绳	立定跳远
选考人数（人）	37	15	32

使用时间 $t$ （单位：千小时）	$t \leq 5$	$5 < t \leq 6$	$t > 6$
每件产品的利润 $y$ （单位：元）	-200	200	400