河南省豫西名校2021-2022学年高一上学期数学第一次联考试卷

试卷更新日期：2021-10-19 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 若 $a > b$ ，则（）

A、 $a^{2} > b^{2}$ B、 $a c^{2} > b c^{2}$ C、 $a^{3} > b^{3}$ D、 $| a | > | b |$

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2. 下列说法中，正确的是（）

A、若 $a \in Z$ ，则 $- a \notin Z$ B、 $R$ 中最小的元素是0 C、“ $\sqrt{3}$ 的近似值的全体”构成一个集合 D、一个集合中不可以有两个相同的元素

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3. 已知集合 $A = {1 ， 2 ， 3 ， 4} ， B = {y | y = 3 x - 2 ， x \in A} ，$ 则 $A \cap B$ =（）

A、 ${1}$ B、 ${4}$ C、 ${1，3}$ D、 ${1，4}$

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4. 已知 $U$ 为全集，则下列说法错误的是（）

A、若 $A \cap B = \emptyset$ ，则 $(∁_{U} A) \cup (∁_{U} B) = U$ B、若 $A \cup B = \emptyset$ ，则 $A = B = \emptyset$ C、若 $A \cup B = \emptyset$ ，则 $(∁_{U} A) \cap (∁_{U} B) = U$ D、若 $A \cap B = \emptyset$ ，则 $A = \emptyset$ 或 $B = \emptyset$

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5. 已知 $a > b > 0 ， m > 0$ ，则（）

A、 $\frac{b}{a} = \frac{b + m}{a + m}$ B、 $\frac{b}{a} > \frac{b + m}{a + m}$ C、 $\frac{b}{a} < \frac{b + m}{a + m}$ D、 $\frac{b}{a}$ 与 $\frac{b + m}{a + m}$ 的大小关系不确定

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6. 设 $a ， b \in R$ ，则“ $a > 2$ 且 $b > 1$ ”是“ $a + b > 3$ 且 $a b > 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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7. 若不等式 $(a - 2) x^{2} + 2 (a - 2) x - 4 < 0$ 对一切 $x \in R$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $- 2 < a < 2$ B、 $a < - 2$ C、 $- 2 < a \leq 2$ D、 $a < - 2$ 或 $a > 2$

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8. 不等式 $a x^{2} - x - c > 0$ 的解集为 ${x | - 2 < x < 1}$ ，则函数 $y = a x^{2} + x - c$ 的图象为（）

A、 B、 C、 D、

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9. 若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + b = 4$ ，则（）

A、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 有最大值1 B、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 有最小值1 C、 $\frac{1}{a b}$ 有最大值 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{a b}$ 有最小值 $\frac{1}{2}$

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10. 下列判断正确的是（）

A、函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} + 9} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 9}}$ 的最小值为2 B、命题“ $\forall x > 0$ ， $2021^{x} + 2021 > 0$ ”的否定是“ $\exists x_{0} \leq 0$ ， $2021^{x_{0}} + 2021 \leq 0$ ” C、若 $m x^{2} - m x - 2 < 0$ 对 $\forall x \in R$ 恒成立，则 $- 8 < m < 0$ D、“ $x + y \neq 4$ ”是“ $x$ ， $y$ 不都是2”的充分条件

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11. 设某同学从甲地到乙地往返的速度分别为 $a$ 和 $b (a < b)$ ，其全程的平均速度为 $v$ ，则（）

A、 $v = \frac{a b}{a + b}$ B、 $v = \sqrt{a b}$ C、 $\sqrt{a b} < v < \frac{a + b}{2}$ D、 $a < v < \sqrt{a b}$

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12. 如图，某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的泳池，池的四周墙壁建造单价为400元/m² ，中间一条隔壁建造单价为100元/m² ，池底建造单价为60元/m²（池壁厚忽略不计且池的深度一定），欲使总造价最低，则泳池的长应设计为（）米．

A、13 B、14 C、15 D、16

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二、填空题

13. 若集合 $A = {x \in N | x \leq 6}$ ， $∁_{A} B = {1 ， 3 ， 5}$ ．则集合 $B =$ ．

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14. 当 $x > 0$ 时，不等式 $x^{2} + m x + 9 > 0$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是．

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15. 已知“ $- 1 < x + y < 4$ ， $2 < x - y < 3$ ”，令 $M = 2 x + 3 y$ ，则 $M$ 的取值范围是．

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16. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | \sqrt{x - 2021} \leq 0}$ ， $B = {x | x^{2} + 2 x + a = 0} \neq \emptyset$ ，则 $A \cup B$ 中所有元素的和构成的集合为．

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三、解答题

17. 设全集为 $U = {x | x \leq 4}$ ， $A = {x | x^{2} + x - 2 < 0 ， x \in U}$ ， $B = {x | x (x - 1) \geq 0 ， x \in U}$ ．求：

(1)、 $A \cup B$ ；

(2)、 $∁_{U} (A \cap B)$ ．

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18. 已知P＝{x|x²－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．

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19. 已知集合 $A = {x | 2 - a \leq x \leq 2 + a}$ ， $B = {x | x \leq 1$ 或 $x \geq 4}$ .

(1)、当 $a = 3$ 时，求 $A \cap B$ ， $A \cup (∁_{R} B)$ ；

(2)、若 $A \cap B = \emptyset$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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20.

(1)、不等式 $3 x^{2} - (a + 1) x \leq 0$ 对任意的 $1 \leq x \leq 2$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围，

(2)、解不等式： $a x^{2} - (a + 1) x + 1 < 0 (a > 0)$ ．

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21. 某博物馆为了保护一件珍贵文物，需要在一种透明又密封的长方体玻璃保护罩内充入保护液体.该博物馆需要支付保护这件文物的总费用由两部分组成：①罩内该种液体的体积比保护罩的容积少0.5立方米，且每立方米液体费用为2000元；②需支付一定的保险费用，且支付的保险费用与保护罩容积成反比，当容积为4立方米时，支付的保险费用为18000元.（长方体保护罩最大容积为10立方米）

(1)、求该博物馆需支付保护这件文物的总费用 $y$ 与保护罩容积 $x$ 之间的函数关系式；

(2)、求该博物馆支付总费用的最小值，并求出此时长方体保护罩的容积.

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22. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ．

(1)、求证： $\frac{a^{2}}{b} + \frac{b^{2}}{a} \geq a + b$ ；

(2)、当 $0 < x < 1$ 时，不等式 $m^{2} - 3 m + 3 \leq \frac{{(1 - x)}^{2}}{x} + \frac{x^{2}}{1 - x}$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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