广东省惠州市淡水街道三校联考2021-2022学年九年级上学期数学第一次月考试卷

试卷更新日期：2021-10-19 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - a x + 6 = 0$ 的一个根是2，则 $a$ 的值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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2. 用配方法将方程x²-6x=1转化为(x+a)²=b的形式，则a，b的值分别为（）

A、a=3，b=1 B、a=-3，b=1 C、a=3，b=10 D、a=-3，b=10

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3. 将抛物线 $y = - 2 x^{2} + 1$ 向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为（）

A、 $y = - 2 {(x + 1)}^{2} - 1$ B、 $y = - 2 {(x - 1)}^{2} + 3$ C、 $y = - 2 {(x - 1)}^{2} - 1$ D、 $y = - 2 {(x + 1)}^{2} + 3$

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4. 下列城市地铁标志图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 对于实数 $a ， b$ 定义运算“☆”如下： $a ☆ b = a b^{2} - a b$ ，例如 $3 ☆ 2 = 3 \times 2^{2} - 3 \times 2 = 6$ ，则方程 $1 ☆ x = 2$ 的根的情况为（）

A、没有实数根 B、只有一个实数根 C、有两个相等的实数根 D、有两个不相等的实数根

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6. 若直角三角形的两边长分别是方程 $x^{2} - 7 x + 12 = 0$ 的两根，则该直角三角形的面积是（）

A、6 B、12 C、12或 $\frac{3 \sqrt{7}}{2}$ D、6或 $\frac{3 \sqrt{7}}{2}$

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7. 在解一元二次方程x²+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1.小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（）

A、x²+2x﹣3＝0 B、x²+2x﹣20＝0 C、x²﹣2x﹣20＝0 D、x²﹣2x﹣3＝0

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8. 今年以来，CPI（居民消费价格总水平）的不断上涨已成为热门话题.已知某种食品在9月份的售价为8.1元/kg，11月份的售价为10元/kg.求这种食品平均每月上涨的百分率是多少？设这种食品平均每月上涨的百分率为x，根据题意可列方程式为（）

A、8.1（1+2x）＝10 B、8.1（1+x）²＝10 C、10（1﹣2x）＝8.1 D、10（1﹣x）²＝8.1

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9. 一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax²+bx+c在同一坐标系中的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 如图是二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象的一部分，图象过点 $A (3 ， 0)$ ，二次函数的对称轴为 $x = 1$ ，给出下列结论：① $b^{2} > 4 a c$ ；② $b c < 0$ ；③ $2 a + b = 0$ ；④ $a + b + c = 0$ ；⑤当 $- 1 < x < 3$ 时， $y < 0$ ，其中正确的是（）

A、②③⑤ B、①③ C、②③ D、①④⑤

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二、填空题

11. 一元二次方程x²－x＝0的解是．

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12. 二次函数 $y = x^{2} - 6 x - 1$ 的对称轴为直线.

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13. 二次函数y=3(x -5)²的图象上有两点P(2，y₁)，Q(6，y₂)，则y₁和y₂的大小关系是.

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14. 二次函数 $y = 2 x^{2} + 3$ 的图像的顶点坐标为．

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15. 若m是方程 $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 的一个根，则 $2 m^{2} - 6 m + 3$ 的值为.

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16. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为 $(- 4 ， 0)$ ，对称轴为 $x = - 1$ ，则 $y > 0$ 时，x的取值范围．

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17. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与直线 $y = k x + m$ 交于 $A (- 3 ， - 1)$ 、 $B (0 ， 3)$ 两点，则关于x的不等式 $a x^{2} + b x + c > k x + m$ 的解集是．

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三、解答题

18. 解方程：

(1)、4x²＝12x；

(2)、3x²﹣4x﹣2＝0.

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19. 用配方法把二次函数y=﹣2x²+6x+4化为y=a（x+m）²+k的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．

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20. 已知a，b，c是△ABC的三边长，且方程 $(a^{2} + b^{2}) x^{2} - 2 c x + 1 ＝ 0$ 有两个相等的实数根.请你判断△ABC的形状.

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21. 如图所示，在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．

(1)、用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；

(2)、当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．

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22. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 2 m x + m^{2} + m = 0$ 有实数根.

(1)、求 $m$ 的取值范围；

(2)、若该方程的两个实数根分别为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，且 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 12$ ，求 $m$ 的值.

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23. 某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，销售定价为50元，可售出400个；定价每增加1元，销售量将减少10个，设每个定价增加x元．

(1)、商店若想获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？

(2)、用含x的代数式表示商店获得的利润W元，并计算商店若要获得最大利润，则每个应定价多少元？获得的最大利润是多少元？

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24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x$ 经过 $x$ 轴上的 $A$ 点，直线 $A B$ 与抛物线在第一象限交于点 $B (2 ， 6)$ ．

(1)、求直线 $A B$ 的函数解析式；

(2)、已知点 $Q$ 是抛物线的对称轴上的一个动点，当 $△ B O Q$ 的周长最小时，求 $△ B O Q$ 的面积；

(3)、若以点 $A$ ， $O$ ， $B$ ， $N$ 为顶点的四边形是平行四边形，则点 $N$ 的坐标是．

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25. 如图所示，在平面直角坐标系由．抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴的两个交点分别为 $A (- 2 ， 0) ， B (5 ， 0)$ ，点 $C$ 在抛物线上，且直线 $A C$ 与 $x$ 轴形成的夹角为 $45^{°}$ ．

(1)、求该抛物线的函数表达式；

(2)、若点 $P$ 为直线 $A C$ 上方抛物线上的动点，求点 $P$ 到直线 $A C$ 距离的最大值；

(3)、将满足（2）中到直线 $A C$ 距离最大时的点 $P$ ，向下平移4个单位长度得到点 $Q$ ，将原抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线 $y = a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1} (a_{1} \neq 0) ， M$ 为平移后抛物线上的动点， $N$ 为平移后抛物线对称轴上的动点，是否存在点 $M$ ，使得以点 $C ， Q ， M ， N$ 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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