福建省宁德市2021-2022学年九年级上学期数学第一次质量检测试卷

试卷更新日期：2021-10-19 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 如果 $\frac{a}{b} = \frac{5}{3}$ ，那么 $\frac{a - b}{b}$ 的值为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{2}{5}$

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2. 如图，四边形ABCD的对角线AC ， BD相交于点O ，且AC⊥BD ，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是（）

A、AB＝CD B、OA＝OC ， OB＝OD C、AC=BD D、 $A B // C D$ ，AD＝BC

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3. 为增强学生环保意识，某中学举办了环保知识竞赛，某班共有3名学生（2名男生，1名女生）获奖．老师若从获奖的3名学生中任选两名作为班级的“环保小卫士”，则恰好是一名男生、一名女生的概率为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{4}{9}$ D、 $\frac{1}{3}$

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4. 如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝6，D为BC边上的一点，且∠BAC＝∠ADC ．若△ADC的面积为a ，则△ABC的面积为（）

A、6a B、4a C、 $\frac{7}{2} a$ D、 $\frac{5}{2} a$

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5. 若m是方程 $x^{2} - 2 x - c = 0$ 的一个根，设 $p = {(m - 1)}^{2}$ ， $q = c + 2$ ，则p与q的大小关系为（）

A、p＜q B、p＝q C、p＞q D、与c的取值有关

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6. 如图，在反映特殊四边形之间关系的知识结构图中，①②③④表示需要添加的条件，则下列描述错误的是（）

A、①表示有一个角是直角 B、②表示有一组邻边相等 C、③表示四个角都相等 D、④表示对角线相等

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7. 若关于x的一元二次方程（k﹣1）x²+2x﹣2=0有不相等实数根，则k的取值范围是（）

A、k＞ $\frac{1}{2}$ B、k≥ $\frac{1}{2}$ C、k＞ $\frac{1}{2}$ 且k≠1 D、k≥ $\frac{1}{2}$ 且k≠1

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8. 三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程x²﹣16x+60=0一个实数根，则该三角形的面积是（）

A、24 B、48 C、24或8 $\sqrt{5}$ D、8 $\sqrt{5}$

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9. 如图，△ABC中，AB=6，AC=4，以BC为对角线作正方形BDCF ，连接AD ，则AD长不可能是（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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10. 七巧板是中国传统数学文化的重要载体，利用七巧板可以拼出许多有趣的图案.现用图1所示的一副七巧板拼成如图2所示的六边形，若图1中七巧板的总面积为16，则图2中六边形的周长为（）

A、 $4 + 8 \sqrt{2}$ B、 $6 + 6 \sqrt{2}$ C、 $6 + 8 \sqrt{2}$ D、 $8 + 6 \sqrt{2}$

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二、填空题

11. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，D是边 $A B$ 的中点，若 $A B = 6$ ，则 $C D =$ .

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12. 方程 $x (x - 3) - 5 (x - 3) = 0$ 的根是．

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13. 在一个不透明的布袋中，蓝色，黑色，白色的玻璃球共有20个，除颜色外其他完全相同．将布袋中的球摇匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色再放回去，通过多次摸球试验后发现，摸到黑色、白色球的频率分别稳定在10%和35%，则口袋中蓝色球的个数很可能是．

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14. 小白有两张卡片，分别标有数字1，2；小黄有三张卡片，分别标有数字3，4，5.两人各自随机地取出一张卡片，取出的两张卡片上数字之积为奇数的概率是.

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15. 《算学宝鉴》全称《新集通证古今算学宝鉴》，王文素著,完成于明嘉靖三年,全书12本42卷,近50万字,代表了我国明代数学的最高水平.《算学宝鉴》中记载的用导数解高次方程的方法堪与牛顿媲美,且早于牛顿140年.《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步,之云阔不及长十二步,问长阔共几何？”
译文：一个矩形田地的面积等于864平方步,且它的宽比长少12步，问长与宽的和是多少步？如果设矩形田地的长为x步，可列方程为．

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16. 如图，在边长为10的菱形 $A B C D$ 中， $A C$ 为对角线， $∠ A B C = 60 °$ ，M、N分别是边 $B C$ ， $C D$ 上的点， $B M = C N$ ，连接 $M N$ 交 $A C$ 于P点，当 $M N$ 最短时， $P C$ 长度为.

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三、解答题

17. 解方程: $x^{2} - 8 x + 5 = 0$

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18. 已知关于x 的一元二次方程x²-5x + m = 0．

(1)、若方程有实数根，求实数m 的取值范围；

(2)、若方程两实数根为x₁ ， x₂ ，且满足3 x₁-2x₂=5，求实数m 的值．

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19. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ，D是 $B C$ 的中点，E是 $A D$ 的中点，过点A作 $A F // B C$ 交 $B E$ 的延长线于点F.

(1)、求证：四边形 $A D C F$ 是菱形；

(2)、若 $A C = 12$ ， $A B = 16$ ，求菱形 $A D C F$ 的面积.

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20. 第七次全国人口普查于2020年11月1日开展，某学校积极响应所在社区的号召，选派部分教师参与普查，其中数学组有4位教师志愿报名，分别记为甲、乙、丙、丁．

(1)、若该校从数学组教师志愿者中抽调1位教师作为普查员，求教师甲被选中的概率．

(2)、若该校从数学组教师志愿者中抽调2位教师作为普查员，请用列表或画树状图的方法，求出教师甲和乙被选中的概率．

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21. 如图，矩形ABCD中，AB=6，点E在AB上，且BE=2，四边形EFGH为菱形，且点F ， H分别在边BC ， AD上．

(1)、当点F的位置如图1所示，请用尺规作出菱形EFGH ．（保留作图痕迹，不写作法）

(2)、若菱形EFGH为正方形，求四边形EFGH的面积．

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22. “中秋节”前，某超市第一次以80元/盒的进价购进一款月饼礼盒500盒，以120元/盒的售价全部销售完．销售人员根据市场调研发现，该款月饼礼盒每盒的售价在120元基础上每降价5元，销量就会相应增加100盒，该超市计划第二次购进该款月饼礼盒，但不超过650盒．

(1)、在进价不变的情况下，第二次实际售价在第一次基础上降了a元时，则该超市这款月饼每盒利润为元，预计销售量为盒．

(2)、在（1）的条件下，若第二次的销售总利润比第一次增加5%，求a的值．

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23. 四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似(不全等），我们就把这条对角线称为这个四边形的“理想对角线”．

(1)、如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝70°，AB=AD ， AD∥BC ，当∠ADC=145°时．
求证：对角线BD是四边形ABCD的“理想对角线”．

(2)、如图2，四边形ABCD中，AC平分∠BCD ，当∠BCD与∠BAD满足什么关系时，对角线AC是四边形ABCD的“理想对角线”，请说明理由．

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24. 已知关于x的一元二次方程: $a x^{2} - (4 a + k) x + 4 a + 2 k = 0$ $(a < 0)$ ．

(1)、求证：该方程始终有两个实数根．

(2)、已知该方程有一个固定解，求出这个解．

(3)、若 $- 4 \leq k \leq - 2$ ，设方程两根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} < n < x_{2}$ ，当整数n至少可取到2个整数，求a的取值范围．

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25. 如图，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上， $∠ E B F = 45 °$ .

(1)、当BE=BF时，求证：AE=CF；

(2)、若AB=4，求 $A F \cdot C E$ 的值；

(3)、延长BF交CD于点G，连接EG.判断线段BE与EG的数量关系，并说明理由.

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