高中数学人教A版（2019）高二上学期期中考试模拟试卷

试卷更新日期：2021-10-19 类型：期中考试

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一、单选题

1. 在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，平面 $O A B$ 的法向量为 $\vec{n} = (2, - 2, 1)$ , $O$ 为坐标原点.已知 $P (- 1, - 3, 8)$ ，则 $P$ 到平面 $O A B$ 的距离等于（）

A、4 B、2 C、3 D、1

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2. 四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的底面是平行四边形，M是AC与BD的交点．若 $\vec{A B}$ = $\vec{a}$ ， $\vec{A D}$ = $\vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}}$ = $\vec{c}$ ，则 $\vec{C_{1} M}$ 可以表示为（）

A、 $\vec{a} + \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$

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3. 直线 $\sqrt{3} x + y - 3 = 0$ 的倾斜角等于（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $60^{\circ}$ C、 D、

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4. 若过原点的直线 $l$ 与圆 $x^{2} - 4 x + y^{2} + 3 = 0$ 有两个交点，则 $l$ 的倾斜角的取值范围为（）

A、 $(- \frac{π}{3} ， \frac{π}{3})$ B、 $(- \frac{π}{6} ， \frac{π}{6})$ C、 $[0 ， \frac{π}{6}) \cup (\frac{5 π}{6} ， π)$ D、 $[0 ， \frac{π}{3}) \cup (\frac{2 π}{3} ， π)$

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5. 若圆 $C$ 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线 $4 x - 3 y = 0$ 和 $x$ 轴都相切，则该圆的标准方程是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 若长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 1$ ， $B C = C C_{1} = \sqrt{2}$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ 分别为 $A D$ ， $A B$ ， $C_{1} D_{1}$ 上的点， $A E = E D$ ， $A F = F B$ ， $\overset{⇀}{D_{1} G} = λ \overset{⇀}{G C_{1}} (λ \geq 4)$ .分别记二面角 $G - E F - D_{1}$ ， $G - E F - C$ ， $G - F B - C$ 的平面角为 $α$ ， $β$ ， $γ$ ，则（）

A、 B、 C、 D、与的值有关

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7. 圆（x+2）²+y²=5关于直线x﹣y+1=0对称的圆的方程为（）

A、（x﹣2）²+y²=5 B、x²+（y﹣2）²=5 C、（x﹣1）²+（y﹣1）²=5 D、（x+1）²+（y+1）²=5

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8. 直线 $l ： (2 m - 3) x + (2 - m) y - 3 m + 4 = 0$ 和圆 $C ： x^{2} - 6 x + y^{2} - 4 y + 9 = 0$ ，则直线 $l$ 与圆 $C$ 的位置关系为（）

A、相切 B、相交 C、相离 D、不确定

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二、多选题

9. 已知直线 $l$ ： $x - 2 y - 2 = 0$ .（）

A、直线 $x - 2 y - 1 = 0$ 与直线 $l$ 平行 B、直线 $x - 2 y + 1 = 0$ 与直线 $l$ 平行 C、直线 $2 x + y - 2 = 0$ 与直线 $l$ 垂直 D、直线 $x + 2 y - 1 = 0$ 与直线 $l$ 垂直

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10. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} = 4$ ，直线 $l ： (3 + m) x + 4 y - 3 + 3 m = 0$ ，( $m \in R$ )．则下列四个命题正确的是（）

A、直线 $l$ 恒过定点 $(- 3 ， 3)$ B、当 $m = 0$ 时，圆 $C$ 上有且仅有三个点到直线 $l$ 的距离都等于1 C、圆 $C$ 与曲线 $x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y + m = 0$ 恰有三条公切线，则 $m = 16$ D、当 $m = 13$ 时，直线 $l$ 上一个动点 $P$ 向圆 $C$ 引两条切线 $P A$ ， $P B$ ，其中 $A$ ， $B$ 为切点，则直线 $A B$ 经过点 $(- \frac{16}{9} ， - \frac{4}{9})$

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11. 下列说法不正确的是（）

A、 $\frac{y - y_{1}}{x - x_{1}} = k$ 不能表示过点 $M (x_{1}, y_{1})$ 且斜率为 $k$ 的直线方程； B、在 $x$ 轴、 $y$ 轴上的截距分别为 $a, b$ 的直线方程为 $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ ； C、直线 $y = k x + b$ 与 $y$ 轴的交点到原点的距离为 $b$ ； D、平面内的所有直线的方程都可以用斜截式来表示.

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12. 设动点 $P$ 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的对角线 $B D_{1}$ 上，记 $\vec{D_{1} P} = λ \vec{D_{1} B}$ 当 $∠ A P C$ 为钝角时，则实数可能的取值是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、1

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三、填空题

13. 已知空间向量 $\overset{⇀}{a} = (2, - 1, 3)$ ， $\overset{⇀}{b} = (- 4, 1, x)$ ，若 $\overset{⇀}{a} ⊥ \overset{⇀}{b}$ ，则 $x =$ ．

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14. 已知直线 $l_{1} ： (m - 1) x - 3 y + 3 = 0$ 和直线 $l_{2} ： 2 x + m y - 5 = 0$ 垂直，则实数 $m =$ .

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15. 若⊙O₁：x²+y²=5与⊙O₂：（x﹣m）²+y²=20（m∈R）相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是．

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16. 若直线 $y = k x + 3 (k > 1)$ 与圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 9$ 相交于A，B两点，且 $| A B | = \frac{12 \sqrt{5}}{5}$ ，则k=.

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四、解答题

17. 已知圆C：x²+y²﹣2x﹣2ay+a²﹣24=0（a∈R）的圆心在直线2x﹣y=0上．

(1)、求实数a的值；

(2)、求圆C与直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0（m∈R）相交弦长的最小值．

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18. 已知 $△ A B C$ 中，点 $A (- 1 ， 5)$ ，边 $B C$ 所在直线 $l_{1}$ 的方程为 $7 x - y - 18 = 0$ ，边 $A B$ 上的中线所在直线 $l_{2}$ 的方程为 $y = x$ .

(1)、求点 $B$ 和点 $C$ 的坐标；

(2)、若 $△ A B C$ 的外接圆为 $⊙ M$ ，求直线 $l_{2}$ 被 $⊙ M$ 截得的弦长.

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19. 如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，四边形 $A B C D$ 为平行四边形， $B C = B D = 1 ， A B = \sqrt{2}$ ，直线 $C C_{1}$ 与平面 $A_{1} B D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

(1)、求点 $C_{1}$ 到平面 $A_{1} B D$ 的距离；

(2)、求平面 $A_{1} B D$ 与平面 $C_{1} B D$ 的夹角的余弦值.

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20. 如图，在棱长均为4的四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $D D_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $∠ B A D = 60^{\circ}$ ， $E$ 为线段 $A D$ 的中点.

(1)、求平面 $B D_{1} D$ 与平面 $B D_{1} E$ 夹角的余弦值；

(2)、在线段 $B_{1} C$ 上是否存在点 $F$ ，使得 $D F //$ 平面 $B D_{1} E$ ？若存在，请确定点 $F$ 的位置；若不存在，请说明理由.

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21. 已知点 $A$ ， $B$ 关于原点 $O$ 对称，点 $A$ 在直线 $x + y = 0$ 上， $| A B | = 2$ ，圆 $M$ 过点 $A$ ， $B$ 且与直线 $x + 1 = 0$ 相切，设圆心 $M$ 的横坐标为 $a$ .

(1)、求圆 $M$ 的半径；

(2)、已知点 $P (0, 1)$ ，当 $a < 2$ 时，作直线 $l$ 与圆 $M$ 相交于不同的两点 $M$ ， $N$ ，已知直线 $l$ 不经过点 $P$ ，且直线 $P M$ ， $P N$ 斜率之和为 $- 1$ ，求证：直线 $l$ 恒过定点.

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22. 已知方程C：x²+y²﹣2x﹣4y+m=0，

(1)、若方程C表示圆，求实数m的范围；

(2)、在方程表示圆时，该圆与直线l：x+2y﹣4=0相交于M、N两点， $| M N | = \frac{4}{5} \sqrt{5}$ ，求m的值；

(3)、在（2）的条件下，定点A（1，0），P在线段MN上运动，求直线AP的斜率取值范围．

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