重庆市长寿区2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-10-18 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ， $B = {2 ， 3 ， 6 ， 7}$ ，则 $A \cap B$ =（）

A、 ${2 ， 3}$ B、 ${4 ， 5}$ C、 ${6 ， 7}$ D、 ${2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7}$

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2. 命题“ $\exists x_{0} \in R$ ， $x^{3} - x^{2} + 1 > 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x_{0} \in R$ ， $x^{3} - x^{2} + 1 < 0$ B、 $\forall x \in R$ ， $x^{3} - x^{2} + 1 \leq 0$ C、 $\exists x_{0} \in R$ ， $x^{3} - x^{2} + 1 \leq 0$ D、 $\forall x \in R$ ， $x^{3} - x^{2} + 1 < 0$

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3. 函数 $f (x) = 3^{x} + x^{3}$ 的零点所在区间为（）

A、 $(- 1 ， 0)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(1 ， 2)$ D、 $(2 ， 3)$

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4. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（）

A、 $y = x + 1$ B、 $y = - x^{2}$ C、 $y = - \frac{1}{x}$ D、 $y = x | x |$

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5. 设 $a = {0.5}^{0.4}$ ， $b = \log_{0.5} 0.3$ ， $c = \log_{2} 0.4$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < b < a$ C、 $c < a < b$ D、 $b < c < a$

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6. 已知函数f(x)= $\sqrt{m x^{2} + m x + 1}$ 的定义域是一切实数,则m的取值范围是( )

A、0<m≤4 B、0≤m≤1 C、m≥4 D、0≤m≤4

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7. 某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量 $P mg/L$ 与时间 $t h$ 间的关系为 $P = P_{0} e^{- k t}$ ，如果在前5个小时消除了20%的污染物，则污染物减少50%需要花多少时间(精确到 $1 h$ (参考数据： $\ln 2 = 0.69$ ， $\ln 10 = 2.30$ )（）

A、 $13 h$ B、 $1 5h$ C、 $18 h$ D、 $20 h$

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8. 已知二次函数 $f (x) = x^{2} - 2 x + m + n (x \in R)$ 的值域为 $[0 ， + \infty)$ ，若 $m > 0$ ， $n > 0$ ，则 $\frac{9}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值为（）

A、9 B、12 C、16 D、20

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二、多选题

9. 若集合 $P = {x | y = x^{2} ， x \in R}$ ，集合 $T = {y | y = x^{2} ， x \in R}$ ，则（）

A、 $0 \in P$ B、 $- 1 \notin T$ C、 $P \cap T = \emptyset$ D、 $P = T$

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10. 下列命题为假命题的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、若 $a > b$ ， $c > d$ 则 $a + c > b + d$ C、若 $a < b$ ， $c < d$ 则 $a b < c d$ D、 $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$

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11. 已知 $p ： x > y$ ， $q ： x^{2} > y^{2}$ .若 $x ， y \in R$ ，则（）

A、 $p$ 是 $q$ 的充分条件 B、 $q$ 不是 $p$ 的必要条件 C、 $q$ 是 $p$ 的充分条件 D、 $p$ 是 $q$ 的既不充分也不必要条件

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12. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 $x \in R$ ，用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则 $y = [x]$ 称为高斯函数.例如： $[- 3.2] = - 4$ ， $[2.3] = 2$ .已知函数 $f (x) = \frac{2^{x}}{1 + 2^{x}} - \frac{1}{2}$ ，则关于函数 $g (x) = [f (x)]$ 的叙述中正确的是（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、 $f (x)$ 在 $R$ 上是减函数 C、 $g (x)$ 是偶函数 D、 $g (x)$ 的值域是 ${- 1 ， 0}$

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x - 1) = x^{2} + 2 x + 2$ ，则 $f (2)$ =.

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14. 已知幂函数 $y = m x^{n} (m ， n \in R)$ 的图象经过点 $(2 ， 8)$ ，则 $m - n =$ .

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15. 计算： $\log_{2} 6 - \log_{2} 3 - 3^{\log_{3} 2} + {(\frac{1}{4})}^{\frac{1}{2}} =$ .

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16. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{x} - a ， x \leq 0 \\ \ln x - a ， x > 0 \end{array}$ 恰有 $2$ 个零点，则实数 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知全集 $U = R$ ，若集合 $A = {x | - 2 \leq x \leq 4}$ ， $B = {x | x - m \leq 0}$ .

(1)、若 $m = 3$ ，求 $∁_{U} B$ ， $A \cup B$ ；

(2)、若 $A \cap B = A$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x) = x - \frac{1}{x}$ .

(1)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性，并证明；

(2)、证明函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上为增函数.

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19. 重庆朝天门批发市场某服装店试销一种成本为每件50元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于成本的60%.经试销发现，销售量 $y$ （件）与销售单价 $x$ （元）符合函数 $y = k x + b$ ，且 $x = 70$ 时， $y = 30$ ； $x = 60$ 时， $y = 40$ .

(1)、求函数 $y = k x + b$ 的解析式；

(2)、若该服装店获得利润为 $W$ 元，试写出利润 $W$ 与销售单价 $x$ 之间的关系式；销售单价定为多少元时，服装店可获得最大利润，最大利润是多少元？

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20. 已知 $f (x) = \log_{2} \frac{x + a}{x - 1} (a \neq - 1)$ 为奇函数.

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的值域.

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21. 已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} - 3 x + b < 0$ 的解集为 ${x | 1 < x < 2}$ .

(1)、求实数 $a$ 和 $b$ 的值；

(2)、解关于x的不等式 $c x^{2} - (a c + b) x + b > 0 (c \in R)$ .

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22. 函数 $f (x)$ 对任意的 $a$ 、 $b \in R$ ，都有 $f (a + b) = f (a) + f (b) - 1$ ，并且当 $x > 0$ 时， $f (x) > 1$ .

(1)、求 $f (0)$ 的值；

(2)、判断 $f (x)$ 的单调性，并加以证明；

(3)、若 $f (2) = 3$ ， $\forall x \in [2 ， 3]$ ， $f (\log_{3} (a x^{2} + x + 1)) \geq 2$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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