四川省成都市2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-10-18 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设全集 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ，集合 $M = {2 ， 3 ， 4}$ ， $N = {3 ， 4}$ ，则 $∁_{U} (M \cup N) =$ （）

A、 ${2 ， 3 ， 4}$ B、 ${1 ， 2 ， 5}$ C、 ${3 ， 4}$ D、 ${1 ， 5}$

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2. 下列函数中，与函数 $y = x$ 相等的是（）

A、 $y = \sqrt{x^{2}}$ B、 $y = {(\sqrt[3]{x})}^{3}$ C、 $y = {(\sqrt[4]{x})}^{4}$ D、 $y = \frac{x^{2}}{x}$

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3. 已知角 $α$ 的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，且 $\cos α = - \frac{4}{5}$ ．若角 $α$ 的终边上有一点 $P (x ， 3)$ ，则 $x$ 的值为（）

A、-4 B、4 C、-3 D、3

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4. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{x} + 2 ， x < 3 ， \\ \log_{2} (x^{2} - 1) ， x \geq 3. \end{array}$ 则 $f (f (0))$ 的值为（）

A、2 B、3 C、 $e^{3} - 1$ D、 $e^{2} - 1$

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5. 已知扇形的圆心角为30°，面积为 $3 π$ ，则扇形的半径为（）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、3 C、 $6 \sqrt{2}$ D、6

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6. 函数 $f (x) = \ln x + 2 x - 9$ 的零点所在区间是（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(2 ， 3)$ C、 $(3 ， 4)$ D、 $(4 ， 5)$

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7. 已知函数 $f (x) = 2 \cos (2 x - \frac{π}{6}) - 1$ ，则函数 $f (x)$ 的递减区间是（）

A、 $[k π + \frac{π}{12} ， k π + \frac{7 π}{12}] (k \in Z)$ B、 $[k π - \frac{5 π}{12} ， k π + \frac{π}{12}] (k \in Z)$ C、 $[k π - \frac{π}{6} ， k π + \frac{π}{3}] (k \in Z)$ D、 $[k π + \frac{π}{3} ， k π + \frac{5 π}{6}] (k \in Z)$

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8. 函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{3^{| x |} - 3}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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9. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (x + \frac{π}{4})$ ，先将函数 $f (x)$ 图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，最后得到函数 $y = g (x)$ 的图象，则 $g (\frac{π}{6})$ 的值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、0 D、 $- \sqrt{3}$

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10. 已知函数 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x^{2} + a x - 1}$ 在 $[1 ， 2]$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[2 ， 4]$ B、 $[- 2 ， + \infty)$ C、 $[- 4 ， - 2]$ D、 $(- \infty ， - 4]$

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11. 若 $a = 6^{- \frac{1}{2}}$ ， $b = \log_{3} 2$ ， $c = \ln 2$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

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12. 设函数 $f (x) = \lg \frac{1 - x}{1 + x} - \frac{x^{2}}{| x + 1 | - 1}$ ， $g (x) = f (2 x - 1) - f (\frac{1}{2})$ ．若 $g (x)$ 的值不小于0，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $[- \frac{3}{4} ， 0)$ B、 $[- \frac{3}{4} ， - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2} ， \frac{1}{4})$ C、 $(0 ， \frac{3}{4}]$ D、 $(0 ， \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2} ， \frac{3}{4}]$

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二、填空题

13. 计算 $\tan 330 °$ 的值为．

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14. 已知函数 $y = a^{2 x - 1} + 1$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象恒过定点 $P (x_{0} ， y_{0})$ ，则 $x_{0}$ 的值为．

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15. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且对区间 $(- \infty ， 0]$ 上的任意 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ ．若实数 $t$ 满 $f (2 t + 1) \leq f (t - 3)$ ，则 $t$ 的取值范围是．

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16. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 在 $(- \frac{4 π}{3} ， \frac{π}{3})$ 上单调，且将函数 $f (x)$ 的图象向右平移4π个单位长度后与原来的图象重合．当 $x \in (0 ， 4 π)$ 时，使得不等式 $f (x) \leq \frac{1}{2}$ 成立的 $x$ 的最大值为．

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三、解答题

17. 计算下列各式的值：

(1)、 ${(- 2021)}^{0} + \sqrt{{(2 - π)}^{2}} + {1.5}^{- 2} \times {(3 \frac{3}{8})}^{\frac{2}{3}}$ ；

(2)、 $\lg \frac{1}{100} + 2^{\log_{2} 3} - \ln \sqrt{e}$ ．

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18. 已知 $\tan θ = - 2$ ，且 $θ \in (\frac{π}{2} ， π)$ ．
（Ⅰ）求 $\sin θ$ ， $\cos θ$ 的值；

（Ⅱ）求 $\frac{2 \sin (π - θ) + \sin (\frac{π}{2} - θ)}{\cos (2 π - θ) + \cos (\frac{π}{2} + θ)}$ 的值．

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19. 已知函数 $f (x) = 1 - \frac{2}{2^{x} + 1}$ ．
（Ⅰ）用函数单调性的定义证明函数 $f (x)$ 在 $R$ 上是增函数；

（Ⅱ）当 $x \in [1 ， 3]$ 时，求函数 $g (x) = \log_{3} f (x)$ 的最值．

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20. 1986年4月26日，一场地震造成乌克兰境内的切尔诺贝利核电站爆炸并引起大火．这一事故导致约8吨的强辐射物严重泄露，事故所在地被严重污染．主要辐射物是锶90，它每年的衰减率为2.47%，经专家模拟估计，辐射物中锶90的剩余量低于原有的8.46%时，事故所在地才能再次成为人类居住的安全区；要完全消除这次核事故对自然环境的影响至少需要800年．设辐射物中原有的锶90有 $a (0 < a < 8)$ 吨．

(1)、设经过 $t (t \in N^{*})$ 年后辐射物中锶90的剩余量为 $P (t)$ 吨，试求 $P (t)$ 的表达式，并计算经过800年后辐射物中锶90的剩余量；

(2)、事故所在地至少经过多少年才能再次成为人类居住的安全区？（结果保留为整数）
参考数据： $\ln 0.0846 = - 2.47$ ， $\ln 0.9753 = - 0.03$ ．

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21. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的最小值为-2，其图象经过点 $(0 ， - 1)$ ，且图象上相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为 $\frac{π}{2}$ ．
（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 的解析式；

（Ⅱ）若关于 $x$ 的方程 $f (x) - k = 0$ 在 $[\frac{π}{6} ， \frac{11 π}{12}]$ 上有且仅有两个实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，求实数 $k$ 的取值范围，并求出 $x_{1} + x_{2}$ 的值．

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22. 已知函数 $f (x) = \sqrt{a x^{2} - 2 a x + 1}$ 的定义域为 $R$ ，其中 $a$ 为实数．
（Ⅰ）求 $a$ 的取值范围；

（Ⅱ）当 $a = 1$ 时，是否存在实数 $m$ 满足对任意 $x_{1} \in [- 1 ， 1]$ ，都存在 $x_{2} \in R$ ，使得 $9^{x_{1}} + 9^{- x_{1}} + m (3^{x_{1}} - 3^{- x_{1}}) - 1 \geq f (x_{2})$ 成立？若存在，求实数 $m$ 的取值范围；若不存在，请说明理由．

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