上海市金山区2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-10-18 类型：期末考试

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一、填空题

1. 已知集合 $A = {1 ， 2}$ ，集合 $B = {m ， 2}$ ，若 $A \cup B = {1 ， 2 ， 3}$ ，则 $m$ 的值为.

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2. 函数 $y = \lg (x - 2)$ 的定义域为

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3. 不等式 $| 2 x - 1 | < 3$ 的解集为.

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4. 已知 $x > 0$ ，化简 ${(x^{3 - \sqrt{2}})}^{3 + \sqrt{2}} =$ .

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5. 若幂函数的图象过点 $(2 ， \sqrt[3]{2})$ ，则该幂函数的解析式为.

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6. 函数y=2 $\sqrt{x}$ +1的值域为．

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7. 已知 $a > - 2$ ，且函数 $y = 3 x + b$ ， $x \in [- 2 ， a]$ 是奇函数，则 $a + b =$ .

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8. 已知函数 $y = f (x)$ 在区间 $[1 ， 6]$ 上的图像是一段连续的曲线，且有如下的对应值表：

$x$

1

2

3

4

5

6

$y$

-3.25

-7.9

2

4.16

-1

9.8

设函数 $y = f (x)$ 在区间 $[1 ， 6]$ 上零点的个数为 $n$ ，则 $n$ 的最小值为.

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9. 已知函数 $f (x) = \log_{a} x (0 < a < 1)$ 在区间 $[2 ， 4]$ 上的最大值比最小值大2，则 $a$ 的值为 .

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10. 对于任意不等于1的正数 $a$ ，函数 $f (x) = \log_{a} (2 x + 3) + 4$ 的图像都经过一个定点，这个定点的坐标是.

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11. 已知常数 $a$ 、 $b$ 、 $c \in R$ ，函数 $f (x) = \frac{b x + c}{x^{2} - a}$ 的图象如图所示，则 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的大小关系用“＜”可以表示为.

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12. 已知 $a > b > 1$ 且 $a^{2} - 6 a - 2 m + 1 = 0$ ， $b^{2} - 6 b - 2 m + 1 = 0$ ，则实数 $m$ 的取值范围是.

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二、单选题

13. 已知 $a 、 b 、 c$ 都是实数，则“ $a < b$ ”是“ $a c^{2} < b c^{2}$ ”的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分也费必要条件

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14. 若函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $R$ ，则 $y = f (x)$ 为偶函数的一个充要条件是（）

A、对任意 $x \in R$ ，都有 $f (x) = 0$ 成立 B、函数 $y = f (x)$ 的图像关于原点成中心对称 C、存在某个 $x_{0} \in R$ ，使得 $f (- x_{0}) - f (x_{0}) = 0$ D、对任意给定的 $x \in R$ ，都有 $f (- x) - f (x) = 0$

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15. 已知 $A 、 B$ 都是非空集合且 $A \cap B = \emptyset ， A \cup B = [- 5 ， 5]$ ，则函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 1 - | 2^{x - 1} - 1 | ， x \in A \\ 2 x - x^{2} ， x \in B \end{array}$ 的最大值与最小值的情况是（）

A、有最大值，但不一定有最小值； B、有最小值，但不一定有最大值； C、既有最大值，又有最小值； D、不一定有最大值，也不一定有最小值.

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三、多选题

16. 已知 $a > 0 ， b > 0$ ，则下列不等式恒成立的是（）

A、 $a b \leq \frac{{(a + b)}^{2}}{4}$ B、 $\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{a b}$ C、 $| a + b | + | a - b | \leq 2 | a |$ D、 $| a + b | - | a - b | \geq 2 | b |$

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四、解答题

17. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | \frac{2 x + 3}{x - 1} < 1}$ ，集合 $B = {x | x \geq a}$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 A⫋B，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x) = x + \frac{4}{x + 1}$ .

(1)、求 $y = f (x)$ 在 $(- 1 ， + \infty)$ 上的最小值，并求此时 $x$ 的值；

(2)、设 $g (x) = f (x) - x - 2$ ，用定义证明：函数 $y = g (x)$ 在区间 $(- \infty ， - 1)$ 上是严格减函数.

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19. 为落实中央“精准扶贫”政策，让市民吃上放心蔬菜，某企业于2020年在其扶贫基地投入300万元研发资金用于蔬菜的开发与种植，并计划今后10年内在此基础上，每年投入的研发资金数比上一年增长 $10 %$ .

(1)、以2021年为第1年，分别计算该企业第1年、第2年投入的研发资金数，并写出第 $x$ 年该企业投入的研发资金数 $y$ （万元）与 $x$ 的函数关系式以及函数的定义域；

(2)、该企业从哪年开始，每年投入的研发资金数将超过600万元？

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20. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - 2 a x - 2 (a \neq 0)$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，求函数 $y = f (x)$ 在 $R$ 上的最大值，并写出取最大值时相应自变量的值；

(2)、写出函数 $y = f (x)$ 的单调增区间（不需要证明）；

(3)、设函数 $y = f (x)$ 的图像与 $x$ 轴交于不同的两点 $A ， B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，是否存在实数 $a$ ，使得△ $A B C$ 的面积为 $\sqrt{6}$ ？若存在，求出 $a$ 的值；若不存在，请说明理由.

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21. 若两个函数 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 对任意 $x \in [a ， b]$ 都有 $| f (x) - g (x) | > 2$ ，则称函数 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 在上 $[a ， b]$ 是疏远的.

(1)、已知命题“函数 $f (x) = x^{2} + 2 x - 1$ 和 $g (x) = x - 2$ 在 $[0 ， 1]$ 上是疏远的”，试判断该命题的真假.若该命题为真命题，请予以证明；若为假命题，请举反例；

(2)、若函数 $f (x) = x^{2} + 2 x - 1$ 和 $g (x) = x - 2$ 在 $[a ， a + 1]$ 上是疏远的，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、已知常数 $c > 1$ ，若函数 $F (x) = \frac{1}{2} (c^{x} - c^{- x})$ 与 $G (x) = c^{x}$ 在 $[1 ， 2]$ 上是疏远的，求实数 $c$ 的取值范围.

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$x$	1	2	3	4	5	6
$y$	-3.25	-7.9	2	4.16	-1	9.8