山西省晋中市2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-10-18 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ∣ 1 \leq 2^{x} < 16}$ ， $B = {x ∣ - 5 < x \leq 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x ∣ - 5 < x < 4}$ B、 ${x ∣ - 5 < x \leq 3}$ C、 ${x ∣ 0 \leq x \leq 3}$ D、 ${x ∣ 3 \leq x < 4}$

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2. 设 $a = {1.7}^{0.3}$ ， $b = \log_{4} 3.1$ ， $c = \log_{0.7} 3$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $c > b > a$ D、 $a > c > b$

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3. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $2 a + b = 4$ ，则ab的最大值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、4 C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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4. 已知 $\tan x = \sqrt{2}$ ，则 $\frac{2 \sin 2 x}{1 + \cos 2 x} =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、4 C、 $2 \sqrt{2}$ D、2

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5. 函数 $f (x) = \frac{\sqrt{x - 1}}{\ln (2 - x)}$ 的定义域是（）

A、 $[1 ， + \infty)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(- \infty ， 2)$ D、 $(0 ， 1) \cup (1 ， 2)$

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6. 函数 $y = \cos x \cdot | \tan x |$ $(- \frac{π}{2} < x < \frac{π}{2})$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 如图点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 是角 $α (0 \leq α < 2 π)$ 的终边与单位圆的交点，则点 $M (α ， x_{0})$ 一定在下列哪个函数图象上（）

A、 $y = \sin x$ B、 $y = \cos x$ C、 $y = \tan x$ D、 $y = x$

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8. 5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式： $C = W \log_{2} (1 + \frac{S}{N})$ .它表示：在受高斯白噪声扰的信道中，最大信息传递速率 $C$ 取决于信道带宽 $W$ ､信道内所传信号的平均功率 $S$ ､信道内部的高斯噪声功率 $N$ 的大小，其中 $\frac{S}{N}$ 叫做信噪比按照香农公式，在不改变 $W$ 的情况下，将信噪比 $\frac{S}{N}$ 从1999提升至原来的10倍，则 $C$ 大约变为原来的几倍（）(参考数据： $\lg 2 \approx 0.3$ ， $\lg 19991 \approx 4.3$ )

A、2.5 B、1.3 C、10 D、5

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二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x) = \sin | x |$ 是 $R$ 上的偶函数 B、函数 $f (x) = \sin | x |$ 的一个周期为 $π$ C、函数 $f (x) = \ln x + x - 2$ 在区间 $(1 ， 2)$ 内有零点 D、函数 $f (x) = \ln x + x - 2$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增

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10. 下列不等式成立的是（）

A、若a＜b＜0，则a²＞b² B、若ab＝4，则a＋b≥4 C、若a＞b，则ac²＞bc² D、若a＞b＞0，m＞0，则 $\frac{b}{a} < \frac{b + m}{a + m}$

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11. 将函数 $y = \cos 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数 $y = f (x)$ 的图象，对于函数 $y = f (x)$ 有以下四个判断，其中正确的是（）

A、函数的解析式为 $y = 2 \cos (2 x + \frac{π}{6})$ B、函数图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称 C、函数在区间 $[0 ， \frac{π}{6}]$ 上单调递增 D、若函数 $y = f (x) + a$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最小值为 $\sqrt{3}$ ，则 $a = 2 + \sqrt{3}$

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12. 设 $f (x) = | e^{x} - 1 |$ ，关于 $x$ 的方程 ${[f (x)]}^{2} - a \cdot f (x) + 1 = 0$ ，给出下列四个叙述，其中正确的是（）

A、存在实数 $a > 0$ ，使得方程恰有1个实根 B、任意实数 $a > 0$ ，方程至少有1个实根 C、存在实数 $a > 0$ ，使得方程恰有3个不同的实根 D、存在实数 $a > 0$ ，使得方程恰有4个不同的实根

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三、填空题

13. 72°化为弧度制为.

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14. 若f（10^x）＝x，则f（5）＝．

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15. 已知点 $A (m - 1 ， y_{1})$ ， $B (m ， y_{2})$ ， $C (m + 1 ， y_{3})$ 在二次函数 $y = x^{2} - 2 x$ 的图象上，且 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ ，则实数 $m$ 的取值范围为.

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16. 已知 $ω > 0$ ，函数 $f (x) = \cos (ω x + \frac{π}{3})$ 在区向 $[\frac{π}{3} ， \frac{π}{2}]$ 上单调递增，则实数 $ω$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 设全集为 $R$ ，集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 3 > 0}$ ， $B = {x | a - 1 < x < 2 a + 3}$ .
（Ⅰ）若 $a = - 1$ ，求 $(∁_{R} A) \cap B$ ；

（Ⅱ）在① $A \cup B = A$ ，② $A \cap B = B$ ，③ $(∁_{R} A) \cap B = \emptyset$ ，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数 $a$ 的取值范围.（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）

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18.

(1)、求值： ${0.01}^{- \frac{1}{2}} - 27^{\frac{2}{3}} + {(\frac{1}{4})}^{- \frac{3}{2}}$

(2)、求值： $\frac{3}{4} \lg 25 + 2^{\log_{2} 3} + \lg (2 \sqrt{2})$

(3)、化简： $\frac{\sin (α - \frac{π}{2}) \cos (\frac{3 π}{2} + α) \tan (2 π - α)}{\tan (α + π) \sin (α + π)}$

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19. 新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为200万元，每生产 $x$ 万箱，需另投入成本 $p (x)$ 万元，当产量不足90万箱时， $p (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 40 x$ ；当产量不小于90万箱时， $p (x) = 101 x + \frac{8100}{x} - 2180$ ，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完．

(1)、求口罩销售利润 $y$ （万元）关于产量 $x$ （万箱）的函数关系式；

(2)、当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？

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20. 已知函数 $f (x) = a \cdot 4^{x} - 2^{x + 1} - 8$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) \geq 0$ 的解集；

(2)、若函数 $f (x)$ 有零点，求实数 $a$ 的取值范围.

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21. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x) = x^{2} + 2 a x + 5$ ，定义在 $[0 ， + \infty)$ 上的函数 $g (x) = e^{x + a - 2}$ .

(1)、当 $a > 0$ 时，若 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的值域相同，求 $a$ 的值；

(2)、若 $F (x) = {\begin{array}{l} f (x) ， x < 0 \\ g (x) ， x \geq 0 \end{array}$ ，讨论 $F (x)$ 的单调性.

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22. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $B C = 4$ ，点 $M$ ， $N$ 分别在线段 $A B$ ， $C D$ (含端点)上， $P$ 为 $A D$ 的中点， $P M ⊥ P N$ ，设 $∠ A P M = α$ .

(1)、求角 $α$ 的取值范围；

(2)、求出 $△ P M N$ 的周长 $l$ 关于角 $α$ 的函数解析式 $f (α)$ ，并求 $△ P M N$ 的周长 $l$ 的最小值及此时 $α$ 的值.

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