山东省淄博市2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-10-18 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 3^{x} < \frac{1}{3}} ， B = {- 3 ， - 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 ${- 3 ， - 2}$ B、 ${- 3 ， - 2 ， - 1}$ C、 ${0 ， 1 ， 2}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$

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2. 已知扇形的周长为8，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的面积为（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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3. 下列函数是偶函数且在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增的是（）

A、 $f (x) = - x^{\frac{1}{2}}$ B、 $f (x) = 3^{- x}$ C、 $f (x) = \log_{2} | x |$ D、 $f (x) = \frac{1}{x^{4}}$

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4. 用二分法求方程 $\log_{2} x + x = 2$ 的近似解时，可以取的一个区间是（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(3 ， 4)$

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5. 已知 $a = 2^{\frac{1}{2}} ， b = 3^{\frac{1}{3}} ， c = \ln \frac{5}{2}$ ，则（）

A、 $b > c > a$ B、 $a > c > b$ C、 $b > a > c$ D、 $a > b > c$

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6. 已知实数 $x > 3$ ，则 $4 x + \frac{9}{x - 3}$ 的最小值是（）

A、24 B、12 C、6 D、3

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7. 我们知道： $y = f (x)$ 的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是 $y = f (x)$ 为奇函数，有同学发现可以将其推广为： $y = f (x)$ 的图象关于 $(a ， b)$ 成中心对称图形的充要条件是 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数.若 $f (x) = x^{3} + 3 x^{2}$ 的对称中心为 $(m ， n)$ ，则 $f (2019) + f (2017) + f (2015) + \dots + f (3) + f (1) + f (- 3) + f (- 5) + \dots + f (- 2017) + f (- 2019) + f (- 2021) =$ （）

A、8080 B、4040 C、2020 D、1010

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二、多选题

8. 下列命题是真命题的有（）

A、 $\lg 2 - \lg \frac{1}{4} + 3 \lg 5 = 3$ B、命题“ $\forall x > 0 ， 2^{x} > 1$ ”的否定为“ $\exists x \leq 0 ， 2^{x} \leq 1$ ” C、“ $α = β$ ”是“ $\sin α = \sin β$ ”成立的充分不必要条件 D、若幂函数 $f (x) = x^{α} (α \in R)$ 经过点 $y = f (x) = a^{x} + m - 1 (a > 1)$ ，则 $α = - 3$

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9. 若角 $α$ 为钝角，且 $\sin α + \cos α = - \frac{1}{5}$ ，则下列选项中正确的有（）

A、 $\sin α = \frac{4}{5}$ B、 $\cos α = - \frac{4}{5}$ C、 $\tan α = - \frac{4}{3}$ D、 $\sin α \cos α = - \frac{12}{25}$

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10. 设 $a > b > 0 ， c \neq 0$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $a - c > b - c$ B、 $\frac{c^{2}}{a} > \frac{c^{2}}{b}$ C、 $\frac{a}{b} < \frac{a + c}{b + c}$ D、 $a - \frac{1}{a} > b - \frac{1}{b}$

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11. 三元均值不等式：“当 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 均为正实数时， $\frac{a + b + c}{3} \geq \sqrt[3]{a b c}$ ，即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当 $a = b = c$ 时等号成立.”利用上面结论，判断下列不等式成立的有（）

A、若 $x > 0$ ，则 $x^{2} + \frac{2}{x} \geq 3$ B、若 $0 < x < 1$ ，则 $x^{2} (1 - x) \leq \frac{1}{9}$ C、若 $x > 0$ ，则 $2 x + \frac{1}{x^{2}} \geq 3$ D、若 $0 < x < 1$ ，则 $x {(1 - x)}^{2} \leq \frac{1}{9}$

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三、填空题

12. 函数 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{1 - x^{2}}$ 的值域为.

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13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 3 x ， x \leq 0 ， \\ \log_{2} x ， x > 0 ， \end{array}$ 若 $f (a) = 4$ ，则实数 $a =$ .

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14. 已知函数 $f (x) = 2^{x} + a x^{2} (a > 0) ， g (x) = x^{2} - 4 x + 1$ .若对任意 $x_{1} \in [- 1 ， 2]$ ，总存在 $x_{2} \in [- 1 ， 2]$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ ，则实数 $a$ 的取值范围是.

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15. 若 $\sin (\frac{π}{3} - α) = \frac{1}{5}$ ，则 $\sin (\frac{2 π}{3} + α) =$ ， $\cos (\frac{5 π}{6} - α) =$ .

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四、解答题

16. 已知角 $α$ 终边上一点 $P (1 ， 2)$ .

(1)、求 $\frac{\sin α + 2 \cos α}{\sin α - \cos α}$ 的值；

(2)、求 $\cos (\frac{11 π}{2} - α) + \sin (\frac{9 π}{2} + α)$ 的值.

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17. 已知集合 $A = {x ∣ (x - a) (x + 1) > 0} (a \in R) ， B = {x ∣ - 1 < \log_{2} x \leq 1}$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、是否存在实数 $a$ ，使得______成立？
请在① $A \cap B = B$ ，② $A \cap B = \emptyset$ ，③ $B \subseteq (∁_{R} A)$ 这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中；若问题中的实数 $a$ 存在，求出 $a$ 的取值范围；若不存在，说明理由.

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18. 已知函数 $g (x) = a \sin (2 x + \frac{π}{6}) + b (a > 0 ， b \in R)$ .若函数 $g (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最大值为 $3$ ，最小值为 $0$ .

(1)、求函数 $g (x)$ 的解析式；

(2)、求出 $g (x)$ 在 $(0 ， π)$ 上的单调递增区间.

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19. 某乡镇为打造成“生态农业特色乡镇”，决定种植某种水果，该水果单株产量 $M (x)$ （单位：千克）与施用肥料 $x$ （单位：千克）满足如下关系： $M (x) = {\begin{array}{l} 5 (x^{2} + 3) ， & 0 \leq x \leq 2 \\ \frac{50 x}{1 + x} + \frac{5}{3} ， & 2 < x \leq 5 \end{array}$ ，单株成本投入（含施肥、人工等）为 $30 x$ 元.已知这种水果的市场售价为15元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为 $f (x)$ （单位：元）.

(1)、求 $f (x)$ 的函数关系式；

(2)、当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？

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20. 已知一元二次函数 $f (x) = a x^{2} - x + 1 (a \neq 0)$ .

(1)、若 $0 < a \leq 1$ ，证明：函数 $f (x)$ 在区间 $(- \infty ， \frac{1}{2}]$ 上单调递减；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[1 ， 4]$ 上的最小值为-2，求实数 $a$ 的值.

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21. 函数 $f (x)$ 的定义域为 $D$ ，若 $x_{0} \in D$ ，满足 $f (x_{0}) = x_{0}$ ，则称 $x_{0}$ 为 $f (x)$ 的不动点.已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 3 - 3 x ， 0 \leq x \leq 1 \\ \log_{3} x ， 1 < x \leq 3 \end{array} ， g (x) = f (f (x))$ .

(1)、试判断 $g (x)$ 不动点的个数，并给予证明；

(2)、若“ $\exists x \in [0 ， \frac{2}{3}) ， g (x) - 1 > \log_{3} (1 + x) + \log_{3} (x + k)$ ”是真命题，求实数 $k$ 的取值范围.

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