山东省潍坊市2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-10-18 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 1 ， 0 ， 1}$ ， $B = {1 ， 2 ， 5}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${0 ， 1 ， 2 ， 5}$ B、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 5}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 5}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 2 ， 5}$

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2. 函数 $y = \sqrt{1 - x} + \frac{1}{x^{3}}$ 的定义域是（）

A、 $(- \infty ， 1]$ B、 $(- \infty ， 0) \cup (0 ， 1]$ C、 $(- \infty ， 0) \cup (0 ， 1)$ D、 $(0 ， 1]$

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3. 把A，B两支篮球队在一个赛季十场比赛中的得分情况绘成如图所示的茎叶图，设A队得分的极差为x，B队得分的25%分位数为y，则x，y的值分别为（）

A、42 66.5 B、47 66.5 C、42 69 D、47 69

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4. 方程 $\ln x = 4 - x$ 的根所在的区间是（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(3 ， 4)$

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5. 1614年苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明了对数方法；1637年法国数学家笛卡尔开始使用指数运算；1770年瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数．若 $2^{x} = 5$ ， $\lg 2 \approx 0.3010$ ，则 $x$ 的值约为（）

A、2.301 B、2.322 C、2.507 D、2.699

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6. 函数 $f (x) = - \frac{x}{x^{2} + 1}$ 的图像大致是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 城镇化是国家现代化的重要指标，根据资料显示，1978-2013年，我国城镇常住人口从1.7亿增加到7.3亿，假设每一年城镇常住人口的增加量都相等，由此估算2035年我国城镇常住人口数为（）

A、10.82亿 B、10.66亿 C、10.98亿 D、9.12亿

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8. 已知函数 $f (x) = 2^{x}$ ，且函数 $g (x)$ 的图像与 $f (x)$ 的图像关于 $y = x$ 对称，函数 $φ (x)$ 的图像与 $g (x)$ 的图像关于 $x$ 轴对称，设 $a = f (- \frac{1}{2})$ ， $b = g (\frac{1}{3})$ ， $c = φ (\frac{1}{3})$ ．则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $c < b < a$ D、 $b < a < c$

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二、多选题

9. 若 $a > b > 0$ ， $c \neq 0$ ，则（）

A、 $a c < b c$ B、 $a + c > b + c$ C、 $2^{a} > 2^{b}$ D、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$

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10. 从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个小球，则下列结论正确的是（）

A、“至少有一个红球”和“至少有一个黑球”是互斥事件 B、“恰有一个黑球”和“都是黑球”是互斥事件 C、“恰有一个红球”和“都是红球”是对立事件 D、“至少一个黑球”和“都是红球”是对立事件

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11. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} a + a^{x} ， x \geq 0 \\ 3 + (a - 1) x ， x < 0 \end{array}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）在 $R$ 上为单调函数，则 $a$ 的值可以是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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12. 已知 $f (x)$ 为奇函数，且 $f (x + 1)$ 为偶函数，若 $f (1) = 0$ ，则（）

A、 $f (3) = 0$ B、 $f (3) = f (5)$ C、 $f (x + 3) = f (x - 1)$ D、 $f (x + 2) + f (x + 1) = 1$

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三、填空题

13. ${(\frac{9}{4})}^{\frac{1}{2}} + \log_{4} 2 =$ ．

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14. 若“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} - a x - 2 a < 0$ ”的否定是真命题，则实数 $a$ 的取值范围是．

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15. 如图所示是某商家根据去年甲、乙两种产品的月销售额（单位：万元）作出的统计图（称为雷达图），根据图中信息，写出一个关于甲、乙两种产品销售额比较的统计结论：．

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16. 若存在常数 $k$ 和 $b$ ，使得函数 $F (x)$ 和 $G (x)$ 对其公共定义域上的任意实数 $x$ 都满足： $F (x) \geq k x + b$ 和 $G (x) \leq k x + b$ 恒成立，则称此直线 $y = k x + b$ 为 $F (x)$ 和 $G (x)$ 的“隔离直线”．已知函数 $f (x) = x^{2} (x \in R)$ ， $g (x) = \frac{1}{x} (x < 0)$ ，若函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 之间存在隔离直线 $y = - 2 x + b$ ，则实数 $b$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 已知全集为 $R$ ， $A = [a ， 5]$ ， $B = (- \infty ， 2] \cup (6 ， + \infty)$ ．

(1)、若 $A \cap B = [- 3 ， 2]$ ，求 $∁_{R} A$ ；

(2)、从下面所给的两个条件中选择一个，并说明它是 $A \subseteq ∁_{R} B$ 的什么条件？（只需说明充分必要性，无需证明）．
① $a \in [- 3 ， - 2)$ ；② $a \in (3 ， 4)$ ．

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18. 已知函数 $f (x) = x^{2} + (k - 1) x + 4$ ，且关于 $x$ 的不等式 $f (x) < 0$ 的解集为 $(1 ， m)$ ．

(1)、求实数 $m$ ， $k$ 的值；

(2)、当 $x \in (0 ， + \infty)$ 时， $b < \frac{f (x)}{x}$ 恒成立，求实数 $b$ 的取值范围．

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19. 有甲、乙两个盒子，其中甲盒中有3个红球，2个白球；乙盒中有1个红球，4个白球除颜色外球的质地大小完全相同）．

(1)、从甲盒中按先后顺序随机取两个球，取后不放回，则至少取得一个红球的概率是多少？

(2)、现在从两个盒子中任意选择一个，再从中任意摸出一球．如果摸到的是红球，你认为选择的是哪个盒子？做出你的判断，并说说你的想法，你认为能否做出完全正确的判断？

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20. 已知函数 $f (x) = λ - \frac{2}{3^{x} + 1} (λ \in R)$ ．

(1)、若 $λ = \frac{3}{2}$ ，求函数 $f (x)$ 的零点；

(2)、探索是否存在实数 $λ$ ，使得函数 $f (x)$ 为奇函数？若存在，求出实数 $λ$ 的值并证明；若不存在，请说明理由．

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21. 某市约有30万户居民，为了实现绿色发展，避免浪费资源，市政府计划对居民用电采用阶梯收费的方法，即制定每户居民月用电量的临界值 $a$ ，若居民某月用电量不超过 $a$ 度则按第一阶梯电价标准收费，价格为0.5元/度；若某月用电量超过 $a$ 度，超出部分则按第二阶梯电价标准收费，价格为 $b$ 元/度，未超出部分按第一阶梯电价标准收费．为此，相关部门在该市随机调查了200户居民的某月用电量，以了解这个城市家庭用电量情况，进行统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，根据频率分布直方图解答以下问题（同一组数据用该区间的中点值作代表）．

(1)、若该市政府希望让全市70%的居民在使用阶梯电价前后缴纳的电费保持不变，临界值 $a$ 应定为多少？并估计全市居民月用电量的众数和平均数；

(2)、在（1）的条件下，假定使用阶梯电价之后，月用电量未超过 $a$ 度的居民用电量保持不变；月用电量超过 $a$ 度的居民节省“超出部分”的40%，试估计全市居民每月节约的电量；

(3)、在（1）（2）的条件下，若使用阶梯电价前后全市缴纳电费总额不变，求第二阶梯电价 $b$ ．（结果保留两位有效数字）

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22. 已知函数 $f (x) = \log_{a} (x - \frac{a}{2}) + \log_{a} (x - a)$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）．

(1)、当 $a = 2$ 时，解不等式 $f (x) > 1$ ；

(2)、 $\forall x \in [2 a ， 4 a]$ ， $f (x) \leq 1$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、在（2）的条件下，是否存在 $α ， β \in (a ， + \infty)$ ，使 $f (x)$ 在区间 $[α ， β]$ 上的值域是 $[\log_{a} β ， \log_{a} α]$ ？若存在，求实数 $a$ 的取值范围；若不存在，试说明理由．

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