青海省海东市2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-10-18 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 2 x - 1 > 3}$ ， $B = {x | x + 2 < 5}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(2 ， 3)$ B、 $(1 ， 3)$ C、 $(2 ， 4)$ D、 $(- 3 ， 2)$

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2. 下列各组角中，终边相同的是（）

A、43°和313° B、37°和787° C、65°和-655° D、124°和-576°

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3. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + 3 ， x \leq 0 ， \\ \ln x ， x > 0 ， \end{array}$ 则 $f (f (- 1)) =$ （）

A、 $2 \ln 2$ B、 $\ln 3$ C、 $2 \ln 3$ D、 $\ln 2$

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4. 已知A，B，C是平面内不共线的三个点，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{A B} + \vec{A C} = \vec{B C}$ B、 $\vec{A B} + \vec{A C} = \vec{C B}$ C、 $\vec{A B} - \vec{A C} = \vec{C B}$ D、 $\vec{A B} - \vec{A C} = \vec{B C}$

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5. 函数 $f (x) = e^{x} + x - 6$ 的零点所在的区间为（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(3 ， 4)$

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6. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ，且 $| \vec{a} | = 3 | \vec{b} | = 9$ ，则 $| \vec{a} + 2 \vec{b} | =$ （）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{7}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{7}$

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7. 已知角 $α$ 的终边经过点 $M (1 ， \sqrt{2})$ ，则 $\tan 2 α =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $- 2 \sqrt{2}$ D、 $- \sqrt{2}$

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8. 已知 $a = \log_{2} 7$ ， $b = 3^{0.3}$ ， $c = \log_{\frac{1}{2}} 3$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $a < b < c$

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9. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = x^{2} + 3 x + 1 - a$ ，则 $f (2) =$ （）

A、－1 B、－2 C、1 D、2

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10. 函数 $f (x) = e^{| x |} \sin x (- π \leq x \leq π)$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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11. 已知函数 $f (x) = \sin (2 x - \frac{π}{6})$ ，下列说法正确的是（）

A、点 $P (\frac{5}{6} π ， 0)$ 是 $f (x)$ 图象的一个对称中心 B、 $f (x)$ 的最小正周期是 $2 π$ C、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{4} ， \frac{π}{6}]$ 上的最大值为 $\frac{1}{2}$ D、 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{6} ， \frac{3}{4} π)$ 上是减函数

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12. 已知 $α ， β \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，且 $\sin α = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ， $\sin (α + β) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $\cos (α - β) =$ （）

A、 $\frac{- 3 \sqrt{6} + 4 \sqrt{3}}{15}$ B、 $\frac{3 \sqrt{6} + 4 \sqrt{3}}{15}$ C、 $\frac{3 \sqrt{6} - 4 \sqrt{3}}{15}$ D、 $- \frac{3 \sqrt{6} + 4 \sqrt{3}}{15}$

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二、填空题

13. 已知平面向量 $\vec{m} = (3 ， x)$ ， $\vec{n} = (2 ， 4)$ ，若 $\vec{m} // \vec{n}$ ，则 $| \vec{m} | =$ .

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14. 已知函数 $f (x)$ 对于任意的正实数 $x$ ， $y$ ，满足 $f (x y) = f (x) + f (y)$ ，且 $f (3) = 1$ ，则 $f (27) =$ ．

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15. $3^{\frac{1}{2}} \times \sqrt[6]{27} + \log_{2} 5 \times \log_{5} 16 =$ .

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16. 在平行四边形 $A B C D$ 中， $E$ ， $F$ 分别是边 $B C$ ， $C D$ 上的两点，且 $\vec{B E} = \vec{E C}$ ， $\vec{D F} = 2 \vec{F C}$ ，若 $\vec{E F} = x \vec{A C} + y \vec{B D}$ ，则 $2 x - y =$ ．

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三、解答题

17. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 4)$ ， $\vec{b} = (3 ， - 2)$ .

(1)、求 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) \cdot (2 \vec{a} - \vec{b})$ 的值；

(2)、若 $(λ \vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，求实数λ的值.

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18. 已知集合 $A = {x | 0 < x < 2}$ ， $B = {x | 1 < x < - a}$

(1)、若 $a = - 3$ ，求 $A \cup (∁_{R} B)$ ；

(2)、若 $A \cap B = B$ ，求 $a$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = A \cos (2 x + φ) (A > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求 $f (x)$ 的单调递增区间．

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20. 已知幂函数 $f (x)$ 的图象经过点 $P (2 ， 4)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式．

(2)、证明：函数 $g (x) = f (x) + \frac{2}{x}$ 在区间 $(0 ， 1)$ 上单调递减．

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21. 已知函数 $f (x) = \log_{a} x$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）．

(1)、若 $f (2 a + 2) \leq f (5 a)$ ，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $y = f (x^{2} + x + \frac{1}{2})$ 的最大值为2，求 $f (x)$ 在区间 $[\frac{1}{8} ， 4]$ 上的值域．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos (2 ω x + \frac{π}{6}) + \sin^{2} (ω x + \frac{π}{3}) - \frac{1}{2} (0 < ω < 2)$ ，且 $f (\frac{π}{4}) = 0$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、先将函数 $y = f (x)$ 图象上所有的点向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再将所得各点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，得到函数 $y = g (x)$ 的图象．若 $g (x)$ 在区间 $(\frac{π}{4} - α ， \frac{π}{4} + α)$ 有且只有一个 $x_{0}$ ，使得 $g (x_{0})$ 取得最大值，求 $α$ 的取值范围．

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