江西省上饶市2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-10-18 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合A＝{x|－1 $<$ x $<$ 2}，集合B＝{x|1 $<$ x $<$ 3}，则A∪B＝（）

A、{x|－1 $<$ x $<$ 3} B、{x|－1 $<$ x $<$ 1} C、{x|1 $<$ x $<$ 2} D、{x|2 $<$ x $<$ 3}

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2. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \log_{2} x ， (x > 0) \\ 3^{x} ， (x \leq 0) \end{array}$ ，则 $f [f (1)] =$ （）

A、0 B、 $\frac{1}{3}$ C、1 D、3

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3. 函数 $y = \sqrt{2 - x} + \lg (x - 1)$ 的定义域是（）

A、 $(0 ， 2]$ B、 $(1 ， 2]$ C、 $(1 ， + \infty)$ D、 $[1 ， 2]$

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4. 过点 $(- 1 ， - 3)$ 且平行于直线 $x - 2 y + 1 = 0$ 的直线方程为（）

A、 $x - 2 y + 7 = 0$ B、 $2 x + y - 1 = 0$ C、 $x - 2 y - 5 = 0$ D、 $2 x + y - 5 = 0$

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5. 若函数 $f (x) = x^{2} + 2 a x + 5$ 在区间 $[1 ， + \infty)$ 是增函数，则实数a的取值范围是（）

A、 $[- 1 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 1]$ C、 $[1 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 1]$

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6. 函数 $f (x) = \frac{3}{x} - \ln (x + 1)$ 的零点所在区间是（）

A、 $(0，1)$ B、 $(1，2)$ C、 $(2，3)$ D、 $(3，4)$

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7. 设 $a = 3^{- 0.2}$ ， $b = \log_{2} 0.2$ ， $c = \log_{2} 3$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > b > a$ C、 $a > c > b$ D、 $c > a > b$

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8. 已知直线l ， m和平面 $α$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $l // m$ ， $m \subset α$ ，则 $l // α$ B、若 $l ⊥ α$ ， $m \subset α$ ，则 $l ⊥ m$ C、若 $l // α$ ， $m \subset α$ ，则 $l // m$ D、若 $l ⊥ m$ ， $l ⊥ α$ ，则 $m // α$

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9. 当 $a > 1$ 时，函数 $y = a^{x}$ 与函数 $y = (a - 1) x^{2} + x$ 在同一坐标系内的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）

A、 $12 + 2 \sqrt{3}$ B、 $12 + \sqrt{3}$ C、 $18 + 2 \sqrt{3}$ D、 $18 + \sqrt{3}$

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11. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在位置为 $B (- 1 ， - 4)$ ，若将军从点 $A (- 1 ， 2)$ 处出发，河岸线所在直线方程为 $x + y = 3$ .则“将军饮马“的最短总路程为（）

A、 $\sqrt{13}$ B、 $\sqrt{17}$ C、 $2 \sqrt{17}$ D、10

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} {(x + 1)}^{2} ， x \leq 0 \\ | \log_{2} x | ， x > 0 \end{array}$ ，若方程 $f (x) = a$ 有四个不同的实数解 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ 且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则 $\frac{2}{x_{3}^{2} x_{4}} - x_{3} (x_{1} + x_{2})$ 的取值范围是（）

A、 $(4 ， 5)$ B、 $(4 ， 5]$ C、 $(4 ， + \infty)$ D、 $[4 ， + \infty)$

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二、填空题

13. 已知集合A= ${a + 2 ， 2 a^{2} + a}$ ，若 $3 \in A$ ，则实数 $a$ 的值是.

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14. 函数 $y = \log_{2} (x^{2} - 5 x + 6)$ 的单调递增区间为.

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15. 点 $(0 ， 2)$ 到直线 $y = k (x + 2)$ 距离的最大值.

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16. 点A、B、C、D在同一个球的球面上， $A B = B C = A C = \sqrt{3}$ ，若四面体 $A B C D$ 体积的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则这个球的表面积为.

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三、解答题

17. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | 2 < x < 7}$ ， $B = {x | x < - 4$ 或 $x > 2}$ ， $C = {x | a - 6 \leq x \leq 2 a - 1 ， a \in R}$

(1)、求 $A \cap B$ ；

(2)、若 $∁_{U} (A \cup B) \subseteq C$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 已知点 $A (1 ， 0)$ ，直线 $l ： x - 2 y - 2 = 0$ .

(1)、求直线 $l_{1} ： 2 x - y + 2 = 0$ 与直线 $l$ 的交点坐标；

(2)、求过点 $A$ ，且与直线l垂直的直线方程.

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19. 已知指数函数 $f (x) = a^{x}$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）的图象过点 $(3 ， \frac{1}{27})$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设函数 $g (x) = f (x - 1) - 1$ ， $x \in [- 1 ， + \infty)$ ，求函数 $g (x)$ 的值域.

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20. 已知二次函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) - f (x) = 4 x + 5$ ，且 $f (x)$ 的图象经过点 $A (1 ， - 13)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式：

(2)、若对任意 $m \in [- 2 ， 3]$ ，不等式 $f (x) \leq m x$ 恒成立，求实数x的取值范围.

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21. 如图，圆柱的轴截面 $A B C D$ 是长方形，点E是底面圆周上异于A ， B的一点， $A F ⊥ D E$ ，F是垂足.

(1)、证明： $A F ⊥ D B$ ；

(2)、若 $A B = 2$ ， $A D = 3$ ，当三棱锥 $D - A B E$ 体积最大时，求点C到平面 $B D E$ 的距离.

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22. 2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响.为降低疫情影响，某厂家拟尽快加大力度促进生产.已知该厂家生产某种产品的年固定成木为100万元，每生产x千件，需另投入成本为 $C (x)$ （万元），当年产量不足80千件时， $C (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 10 x$ （万元）.当年产量不小于80千件时， $C (x) = 52 x + \frac{20000}{x + 2} - 600$ （万元），每件商品售价为0.05万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.

(1)、写出年利润 $L (x)$ （万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；

(2)、当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大?最大利润是多少?

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