江西省抚州市2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷（B卷）

试卷更新日期：2021-10-18 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列各角中，与68°角终边相同的是（）

A、22° B、248° C、428° D、728°

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2. 已知集合 $A = {x | 2 x - 9 < 0}$ ， $B = {x | y = \frac{\ln (x - 1)}{x - 3}}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(1 ， 3) \cup (3 ， \frac{9}{2})$ B、 $[1 ， 3) \cup (3 ， \frac{9}{2})$ C、 $(1 ， \frac{9}{2})$ D、 $[1 ， \frac{9}{2})$

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3. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + 3 ， x \leq 0 ， \\ \ln x ， x > 0 ， \end{array}$ 则 $f (f (- 1)) =$ （）

A、 $2 \ln 2$ B、 $\ln 3$ C、 $2 \ln 3$ D、 $\ln 2$

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4. 要得到函数 $f (x) = \sin (2 x - \frac{π}{4})$ 的图象，只需要将函数 $g (x) = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象（）

A、向右平移 $\frac{7 π}{12}$ 个单位长度 B、向左平移 $\frac{7 π}{24}$ 个单位长度 C、向右平移 $\frac{7 π}{24}$ 个单位长度 D、向左平移 $\frac{7 π}{12}$ 个单位长度

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5. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ，且 $| \vec{a} | = 3 | \vec{b} | = 9$ ，则 $| \vec{a} + 2 \vec{b} | =$ （）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{7}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{7}$

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6. 下列函数中，既是偶函数又在区间 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减的是（）

A、 $y = 3 x^{2} - 4$ B、 $y = \frac{4}{x}$ C、 $y = x^{- 2}$ D、 $y = \lg | x |$

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7. 已知a是函数 $h (x) = 2^{x} - 8$ 的零点，则函数 $f (x) = a x + \ln x - 5$ 的零点所在的区间为（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(3 ， 4)$

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8. 已知 $a = \log_{2} 7$ ， $b = 3^{0.3}$ ， $c = \log_{\frac{1}{2}} 3$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $a < b < c$

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9. 函数 $f (x) = e^{| x |} \sin x (- π \leq x \leq π)$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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10. 已知函数 $f (x) = \sin (2 x - \frac{π}{6})$ ，下列说法正确的是（）

A、点 $P (\frac{5}{6} π ， 0)$ 是 $f (x)$ 图象的一个对称中心 B、 $f (x)$ 的最小正周期是 $2 π$ C、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{4} ， \frac{π}{6}]$ 上的最大值为 $\frac{1}{2}$ D、 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{6} ， \frac{3}{4} π)$ 上是减函数

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11. 已知 $a = \lg 2$ ， $3^{b} = 10$ ，则 $\log_{5} 15 =$ （）

A、 $\frac{a + 1 - a b}{a - a b}$ B、 $\frac{b + 1 - a b}{b - a b}$ C、 $\frac{b + 1 - a}{1 - a}$ D、 $\frac{a + 1 - b}{1 - b}$

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12. 已知 $α ， β \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，且 $\sin α = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ， $\sin (α + β) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $\cos (α - β) =$ （）

A、 $\frac{- 3 \sqrt{6} + 4 \sqrt{3}}{15}$ B、 $\frac{3 \sqrt{6} + 4 \sqrt{3}}{15}$ C、 $\frac{3 \sqrt{6} - 4 \sqrt{3}}{15}$ D、 $- \frac{3 \sqrt{6} + 4 \sqrt{3}}{15}$

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二、填空题

13. 已知平面向量 $\vec{m} = (3 ， x)$ ， $\vec{n} = (2 ， 4)$ ，若 $\vec{m} // \vec{n}$ ，则 $| \vec{m} | =$ .

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14. 已知幂函数f（x）的图象经过点（3， $\frac{1}{9}$ ），则f（4）= ．

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15. 定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 在 $[0 ， + \infty)$ 上是减函数，若 $f (m) + f (3 - 2 m) > f (0)$ ，则m的取值范围为.

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16. 在平行四边形 $A B C D$ 中， $E$ ， $F$ 分别是边 $B C$ ， $C D$ 上的两点，且 $\vec{B E} = \vec{E C}$ ， $\vec{D F} = 2 \vec{F C}$ ，若 $\vec{E F} = x \vec{A C} + y \vec{B D}$ ，则 $2 x - y =$ ．

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三、解答题

17. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 4)$ ， $\vec{b} = (3 ， - 2)$ .

(1)、求 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) \cdot (2 \vec{a} - \vec{b})$ 的值；

(2)、若 $(λ \vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，求实数λ的值.

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18. 已知 $α$ 为第二象限角，且 $\sin α = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ .

(1)、求 $\tan (π - α) + \cos (\frac{3 π}{2} + α)$ 的值；

(2)、若 $\tan β = - \sqrt{2}$ ，求 $\tan (2 β - α)$ 的值.

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19. 已知函数 $f (x) = A \cos (2 x + φ) (A > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求 $f (x)$ 的单调递增区间．

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20.

(1)、用定义法证明：函数 $f (x) = x + \frac{1}{x + 2}$ 是 $(- 1 ， + \infty)$ 上的增函数.

(2)、判断函数 $g (x) = {\begin{array}{l} x - \frac{1}{x + 1} + 1 ， x \geq 0 \\ x - \frac{1}{x - 1} - 1 ， x < 0 \end{array}$ 的奇偶性并证明.

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21. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (2 ω x + \frac{π}{6}) (0 < ω < 2)$ ，且 $f (\frac{π}{6}) = 2$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、将函数 $y = f (x)$ 图象上所有的点先向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，求 $g (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{6} ， \frac{5 π}{6}]$ 上的值域.

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} + 2^{x} + 2^{- x}$ .

(1)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性以及单调性，并加以证明；

(2)、若不等式 $f (4 + a \cdot 2^{- x}) < f (2^{x} - 2^{- x})$ 对任意 $x \in (\log_{2} \frac{3}{2} ， + \infty)$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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