湖南省怀化市2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-10-18 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知角 $α$ 是第一象限角，且 $\sin α = \frac{3}{5}$ ，则 $\cos α =$ （）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{3}{4}$

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2. “ $α = \frac{π}{6}$ ”是“ $\sin α = \frac{1}{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知 $a > b > 0$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ B、 $\sqrt{a} > \sqrt{b}$ C、lg_a＜lg_b D、2^-a＞2^-b

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4. 函数 $f (x) = \sqrt{x + 3} + \frac{1}{x + 2}$ 的定义域是（）

A、 $[- 3 ， + \infty)$ B、 $[- 3 ， - 2)$ C、 $[- 3 ， - 2) \cup (- 2 ， + \infty)$ D、 $(- 2 ， + \infty)$

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5. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \sin \frac{π}{4} x, x > 0 \\ f (x + 2), x \leq 0 \end{array}$ ，则 $f (- 3)$ 的值为（）

A、-1 B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$

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6. 函数f（x）＝ ${(\frac{3}{2})}^{x}$ ﹣3的零点所在的区间为（）

A、（0，1） B、（1，2） C、（2，3） D、（3，4）

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7. 偶函数 $y = f (x)$ 在 $(- \infty ， 0]$ 上为增函数，且 $f (3 a) - f (2 a - 10) < 0$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 10)$ B、 $(- \infty ， - 10) \cup (2 ， + \infty)$ C、 $(2 ， + \infty)$ D、 $(- 10 ， 2)$

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8. 已知定义在R上的奇函数，满足 $f (2 - x) + f (x) = 0$ ，当 $x \in (0 ， 1]$ 时， $f (x) = - \log_{2} x$ ，若函数 $F (x) = f (x) - \sin π x$ ，在区间 $[- 2 ， m]$ 上有2020个零点，则m的取值范围是（）

A、 $[\frac{2015}{2} ， 1008)$ B、 $[1008 ， \frac{2017}{2})$ C、 $[\frac{2017}{2} ， 1009]$ D、 $[1009 ， \frac{2019}{2}]$

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二、多选题

9. 与角 $- \frac{4 π}{3}$ 终边相同的角是（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{4 π}{3}$ D、 $- \frac{10 π}{3}$

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10. 对于① $\sin θ > 0$ ，② $\sin θ < 0$ ，③ $\cos θ > 0$ ，④ $\cos θ < 0$ ，⑤ $\tan θ > 0$ ，⑥ $\tan θ < 0$ ，则 $θ$ 为第二象限角的充要条件为（）

A、①③ B、①④ C、④⑥ D、②⑤

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11. 下列判断正确的是（）

A、 $x + \frac{1}{x}$ 的最小值是2 B、{菱形}∩{矩形}={正方形} C、不等式 $| x - 1 | < 2$ 的解集为 $[- 1 ， 3]$ D、如果 $a < b < 0$ ，那么 $\frac{1}{a^{2}} < \frac{1}{b^{2}}$

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12. 已知狄利克雷函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 1 ， x 是有理数 \\ 0 ， x 是无理数 \end{array}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的值域为 $[0 ， 1]$ B、 $f (x)$ 定义域为 $R$ C、 $f (x + 1) = f (x)$ D、 $f (x)$ 是奇函数

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三、填空题

13. 计算： $\frac{2}{3} \lg 8 - e^{0} + {(\frac{1}{27})}^{- \frac{1}{3}} + \lg 25 =$ ．

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14. 函数 $y = \sin (x - \frac{π}{3})$ 的单调递增区间为.

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15. 某工厂8年来某种产品年产量C与时间t(年)的函数关系如图所示.

以下四种说法：

①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产； ④第三年到第八年每年的年产量保持不变.

其中说法正确的序号是.

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16. 已知函数 $f (x) = \sin (2 x + ϕ)$ 关于直线 $x = \frac{π}{8}$ 对称，若 $ϕ \in [0 ， \frac{π}{2}]$ ，则 $ϕ =$ .

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四、解答题

17. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | 0 < x \leq 2}$ ， $B = {x | x < - 3$ 或 $x > 1}$
求：

(1)、 $A \cap B$ ；

(2)、 $(∁_{U} A) \cap (∁_{U} B)$ .

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18. 已知函数 $f (x) = (m + 1) x^{2} - m x + 1$ ．

(1)、当 $m = 5$ 时，求不等式 $f (x) > 0$ 的解集；

(2)、若不等式 $f (x) > x^{2}$ 的解集为R，求实数m的取值范围．

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19. 已知 $\tan (θ + \frac{π}{4}) = \frac{1}{3}$
求：

(1)、 $\tan θ$ ；

(2)、 $\frac{\sin θ + 3 \cos θ}{\sin θ + 2 \cos θ}$ .

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20. 6月1日上午，国务院总理李克强在山东烟台考察时表示，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间烟火，和“高大上”一样，是中国的生机．英雄的武汉在解封两个月之后，“地摊经济”重回视线，武汉回归繁华．市民“武汗”先生在经营中以每件50元的进价出售某商品，据市场调查，当销售价格（每件 $x$ 元）在 $50 \leq x \leq 80$ 时，每天售出的件数为 $P = \frac{10^{4}}{{(x - 40)}^{2}}$ ，每天获得的利润为 $y$ （元）．

(1)、写出 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式；

(2)、若想每天获得的利润最多，售价应为每件多少元？

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21. 函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 部分图象如图所示.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设 $g (x) = f (x) - \cos 2 x$ ，求函数 $g (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最大值和最小值.

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22. 如图所示，为积极开展“最美怀化”建设，我市某校中学现拟在边长为0.6千米的正方形地块 $A B C D$ 上划出一片三角形地块 $C M N$ 建设小型生态园，点 $M ， N$ 分别在边 $A B ， A D$ 上.

(1)、当点 $M ， N$ 分别是边 $A B$ 中点和 $A D$ 靠近 $D$ 的三等分点时，求 $∠ M C N$ 的正切值；

(2)、实地勘察后发现，由于地形等原因， $△ A M N$ 的周长必须为1.2千米，请研究 $∠ M C N$ 是否为定值，若是，求此定值，若不是，请说明理由.

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