湖北省九师联盟2021-2022学年高三上学期数学10月质量检测试卷

试卷更新日期：2021-10-18 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 不等式 $x^{2} - 2 x - 8 \leq 0$ 的解集为（）

A、 ${x | - 4 \leq x \leq 2}$ B、 ${x | - 2 \leq x \leq 4}$ C、 ${x | x \geq 4$ 或 $x \leq - 2}$ D、 ${x | x \leq 2$ 或 $x \leq - 4}$

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2. 复数 $z = \frac{2 - i}{1 + i} ，$ 下列说法正确的是（）

A、z的模为 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ B、z的虚部为 $- \frac{3}{2} i$ C、z的共轭复数为 $- \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i$ D、z的共轭复数表示的点在第四象限

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3. 若 $\tan (θ - \frac{π}{4}) = - 2$ ，则 $\tan 2 θ =$ （）

A、-4 B、 $- \frac{1}{3}$ C、-3 D、 $- \frac{3}{4}$

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4. 一种药在病人血液中的量保持在 $1500mg$ 以上时才有疗效，而低于 $600mg$ 时病人就有危险.现给某病人的静脉注射了这种药 $2400mg$ ，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，要使病人没有危险，再次注射该药的时间不能超过（ $\lg 2 \approx 0.3$ ，结果精确到1h）（）

A、5h B、6h C、7h D、8h

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5. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2 \sqrt{2}$ ， $| \vec{b} | = 1$ ， $| \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{6}$ ，则 $| \vec{a} + 2 \vec{b} | =$ （）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $3 \sqrt{3}$

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6. 函数 $f (x) = - \sin^{2} x - 2 \cos x$ 的单调递增区间是（）

A、 $[2 k π ， (2 k + 1) π]$ $(k \in Z)$ B、 $[2 k π - \frac{π}{2} ， 2 k π + \frac{π}{2}]$ $(k \in Z)$ C、 $[(2 k - 1) π ， 2 k π]$ $(k \in Z)$ D、 $[2 k π + \frac{π}{2} ， 2 k π + \frac{3 π}{2}]$ $(k \in Z)$

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7. 把一条线段分为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，其比值是一个无理数 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，由于按此比例设计的造型十分美丽柔和，因此称为黄金分割，黄金分割不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用.在 $△ A B C$ 中，点D为线段 $B C$ 的黄金分割点（ $B D > D C$ ）， $A B = 2$ ， $A C = 3$ ， $∠ B A C = 60 °$ ，则 $\vec{A D} \cdot \vec{B C} =$ （）

A、 $\frac{7 \sqrt{5} - 9}{2}$ B、 $\frac{9 - 7 \sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{9 \sqrt{5} - 7}{2}$ D、 $\frac{7 - 9 \sqrt{5}}{2}$

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8. 已知函数 $f (x) = \sin x - x^{2} + π x$ 的定义域为 $[- \frac{π}{2} ， \frac{3 π}{2}]$ ，则满足 $f (π - a) > f (\frac{π}{2} + a)$ 的实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \frac{π}{2} ， \frac{π}{4}]$ B、 $[\frac{π}{2} ， \frac{3 π}{4})$ C、 $(\frac{π}{4} ， π]$ D、 $(\frac{3 π}{4} ， π]$

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二、多选题

9. 为了得到函数 $y = \log_{2} x$ 的图象，只需将函数 $y = \log_{2} (2 x)$ 图象上（）

A、所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B、所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变 C、所有点沿y轴向下平移1个单位长度 D、所有点沿x轴向右平移 $\frac{1}{2}$ 个单位长度

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10. 设 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 是复数，则（）

A、 $\bar{z_{1} - z_{2}} = \bar{z_{1}} - \bar{z_{2}}$ B、若 $z_{1} z_{2} \in R$ ，则 $z_{1} = \bar{z_{2}}$ C、若 $| z_{1} - z_{2} | = 0$ ，则 $\bar{z_{1}} = \bar{z_{2}}$ D、若 $z_{1}^{2} + z_{2}^{2} = 0$ ，则 $z_{1} = z_{2} = 0$

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11. 下列命题成立的是（）

A、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $\frac{a}{d} > \frac{b}{c}$ B、若不等式 $x^{2} + a x - b < 0$ 的解集是 ${x | 1 < x < 2}$ ，则 $a + b = - 5$ C、若 $a \in R$ ， $b \in R$ ，则 $a^{2} + b^{2} \geq 2 (a + b - 1)$ D、若a，b满足 $- 1 < a < b < 1$ ，则 $a - b$ 的取值范围是 $(- 2 ， 2)$

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12. 已知函数 $f (x) = \ln x$ ，则（）

A、当 $x_{2} > x_{1} > 0$ 时， $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{2} - x_{1}} > 0$ B、当 $x_{2} > x_{1} > 1$ 时， $x_{1} f (x_{1}) < x_{2} f (x_{2})$ C、当 $x_{2} > x_{1} > e$ 时， $x_{2} f (x_{1}) > x_{1} f (x_{2})$ D、方程 $\frac{f (x)}{x} = - 1$ 有两个不同的解

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三、填空题

13. 若 $f (x) = \frac{2^{2 x} + a}{2^{x}}$ 是奇函数，则 $a =$ .

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14. 已知 $O$ 是 $△ A B C$ 的外心，且 $A C = \sqrt{2}$ ，则 $\vec{O A} \cdot \vec{A C} =$ .

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15. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $0 \leq φ < 2 π$ ）满足 $f (2 + x) = f (2 - x)$ ，其图象与 $x$ 轴在原点右侧的第一个交点的坐标为 $(6 ， 0)$ ，则函数 $y = f (x)$ 的解析式为.

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16. 拿破仑·波拿巴，十九世纪法国伟大的军事家、政治家，对数学很有兴趣，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 60^{\circ}$ ，以 $A B$ ， $B C$ ， $A C$ 为边向外作三个等边三角形，其中心依次为 $D$ ， $E$ ， $F$ ，若 $D F = 2 \sqrt{3}$ ，则 $\frac{A B}{A D} =$ ， $A B + A C$ 的最大值为.

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四、解答题

17. 在① $2 b \cos B = c \cos A + a \cos C$ ，② $b \sin A = a \sin (B + \frac{π}{3})$ ，③ $\cos 2 B = \sin (B - \frac{π}{2})$ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答；
$△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $△ A B C$ 的面积 $S = \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$ ， $c = 2$ ， ▲ ，求 $b$ .

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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18. 已知 $a \in R$ ， $b \in R$ ，方程 $x^{2} + a x + b = 0$ 的一个根为 $1 - i$ ，复数 $z_{1} = a + b i$ ，满足 $| z_{2} | = 4$ .

(1)、求复数 $\bar{z_{1}}$ ；

(2)、若 $\bar{z_{1}} \cdot z_{2} > 0$ ，求复数 $z_{2}$ .

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19. 已知函数 $f (x) = x^{2} + a x + a$ .

(1)、若 $a \in R$ ，解关于x的不等式 $f (x) > 0$ ；

(2)、若存在 $x_{0} \in (- 1 ， + \infty)$ ，使得 $f (x_{0}) < 0$ 成立，求整数a的最大值.

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20. 已知向量 $\vec{a} = (\sqrt{3} \sin x ， \cos x)$ ， $\vec{b} = (\cos x ， \cos x)$ .

(1)、若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，且 $x \in (- π ， 0)$ ，求 $x$ 的值；

(2)、若函数 $f (x) = 2 \vec{a} \cdot \vec{b} - 1$ ，且 $f (\frac{x}{2}) = \frac{1}{3}$ ，求 $\sin (2 x - \frac{π}{6})$ 的值.

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21. 已知函数 $f (x) = \ln x$ ， $g (x) = x^{2} - x + 1$ .

(1)、求函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ 的极值；

(2)、证明：有且只有两条直线与函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 的图象都相切.

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22.

(1)、已知函数 $f (x) = \ln x + 1 - x \ln x$ （ $1 \leq x \leq e$ ），求证： $2 - e \leq f (x) \leq 1$ ；

(2)、若函数 $g (x) = \frac{| x \ln x + k |}{e^{x}}$ 在 $[1 ， e]$ 上为减函数，求实数 $k$ 的取值范围.

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