湖北省金太阳百校联考2021-2022学年高三上学期数学10月月考试卷

试卷更新日期：2021-10-18 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | x^{2} \leq 4}$ ， $N = {x | y = \sqrt{x + 1}}$ ，则 $M \cup N =$ （）

A、 ${x | x \geq - 1}$ B、 ${x | - 1 \leq x \leq 2}$ C、 ${x | - 2 \leq x \leq 2}$ D、 ${x | x \geq - 2}$

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2. 如图所示的复古时钟显示的时刻为10：10，将时针与分针视为两条线段，则该时刻的时针与分针所夹的钝角为（）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{23 π}{36}$ C、 $\frac{11 π}{18}$ D、 $\frac{7 π}{12}$

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3. 若函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $\forall x_{1}$ ， $x_{2} \in R$ ， $x_{1} \neq x_{2}$ ， $(x_{1} - x_{2}) [f (x_{1}) - f (x_{2})] > 0$ ，则 $f (x)$ 的解析式可能为（）

A、 $f (x) = \ln x + x$ B、 $f (x) = x^{2} - x$ C、 $f (x) = 1 - x - 2^{x}$ D、 $f (x) = 2 x - 2^{- x}$

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4. 将函数 $f (x) = \sin (ω x - \frac{π}{6})$ （ $3 < ω < 6$ ）的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后，得到函数 $g (x)$ 的图象，若 $g (x)$ 为偶函数，则 $ω =$ （）

A、5 B、 $\frac{11}{2}$ C、4 D、 $\frac{7}{2}$

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5. 已知命题 $p$ ： $\forall a \in N$ ， $\exists b \in N$ ， $a > b$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\exists a \in N$ ， $\forall b \in N$ ， $a \leq b$ B、 $\forall a \in N$ ， $\exists b \in N$ ， $a \leq b$ C、 $\exists a \in N$ ， $\exists b \in N$ ， $a \leq b$ D、 $\forall a \in N$ ， $\forall b \in N$ ， $a \leq b$

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6. 函数 $y = (1 + \cos x) (x - \frac{1}{x})$ 在 $[- 5 ， 0) \cup (0 ， 5]$ 上的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知 $a = 4 \log_{24} 2$ ， $b = \log_{5} 4$ ， $c = \frac{\lg 3 + \lg 5}{2 \lg 5}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $c > b > a$ D、 $a > c > b$

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8. 已知点 $P (- 5 ， m)$ 为角 $α$ 终边上一点， $α = 2 β$ ，且 $\frac{1 + \cos 2 β}{\sin 2 β} + \tan β = 2 \sqrt{26}$ ，则 $m =$ （）

A、2 B、2± C、1 D、±1

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二、多选题

9. 关于充分必要条件，下列判断正确的有（）

A、“ $m > 2$ ”是“ $m > 3$ ”的充分不必要条件 B、“ $\log_{2} a + \log_{2} c = 2 \log_{2} b$ ”是“ $a$ ， $b$ ， $c$ 成等比数列”的充分不必要条件 C、“ $f (x)$ 的图象经过点 $(1 ， 1)$ ”是“ $f (x)$ 是幂函数”的必要不充分条件 D、“直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 平行”是“直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的倾斜角相等”的充要条件

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10. 血压（bloodpressure，BP）是指血液在血管内流动时作用于单位面积血管壁的侧压力，它是推动血液在血管内流动的动力，血压的最大值､最小值分别称为收缩压和舒张压.未使用抗高血压药的前提下，18岁以上成人收缩压 $\geq 140 mmHg$ 或舒张压 $\geq 90 mmHg$ ，则说明这位成人有高血压，设从未使用抗高血压药的李华今年40岁，从某天早晨6点开始计算（即早晨6点时， $t = 0$ ），他的血压 $p (t)$ （ $mmHg$ ）与经过的时间 $t$ （ $h$ ）满足关系式 $p (t) = 116 + 22 \sin (\frac{π}{6} t + \frac{π}{3})$ ，则（）

A、函数 $p (t)$ 的最小正周期为6 B、当天早晨7点时李华的血压为 $138 mmHg$ C、当天李华有高血压 D、当天李华的收缩压与舒张压之差为 $44 mmHg$

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11. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (x) + f (- x) = 0$ ， $f (x + 1) + f (3 - x) = 0$ ，当 $0 < x < 2$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 x$ ，则（）

A、 $f (x) = f (x + 8)$ B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 2$ 对称 C、当 $4 < x \leq 6$ 时， $f (x) = x^{2} - 10 x + 24$ D、函数 $y = f (x) - \lg x^{2}$ 有4个零点

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12. 若 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x_{0} + Δ x ， y_{0}) - f (x_{0} ， y_{0})}{Δ x}$ 存在，则称 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x_{0} + Δ x ， y_{0}) - f (x_{0} ， y_{0})}{Δ x}$ 为二元函数 $z = f (x ， y)$ 在点 $(x_{0} ， y_{0})$ 处对 $x$ 的偏导数，记为 ${f^{'}}_{x} (x_{0} ， y_{0})$ ；若 $\lim_{Δ y \to 0} \frac{f (x_{0} ， y_{0} + Δ y) - f (x_{0} ， y_{0})}{Δ y}$ 存在，则称 $\lim_{Δ y \to 0} \frac{f (x_{0} ， y_{0} + Δ y) - f (x_{0} ， y_{0})}{Δ y}$ 为一元函数 $z = f (x ， y)$ 在点 $(x_{0} ， y_{0})$ 处对 $y$ 的偏导数，记为 ${f^{'}}_{y} (x_{0} ， y_{0})$ ，已知二元函数 $f (x ， y) = x^{2} - 2 x y + y^{3}$ （ $x > 0$ ， $y > 0$ ），则（）

A、 ${f^{'}}_{x} (1 ， 2) = - 2$ B、 ${f^{'}}_{y} (1 ， 2) = 10$ C、 ${f^{'}}_{x} (m ， n) + {f^{'}}_{y} (m ， n)$ 的最小值为 $- 1$ D、 $f (x ， y)$ 的最小值为 $- \frac{4}{27}$

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = 2 e^{x} - \frac{1}{e^{x}}$ 的图象在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程为.

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14. 设集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 8 > 0}$ ， $B = {x | x \leq a$ 或 $x \geq a + 5}$ ，若 $A \cap (∁_{R} B) = \emptyset$ ，则 $a$ 的取值范围是.

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15. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} + 4 x ， x \leq 4 ， \\ | \log_{2} (x - 4) | ， x > 4 ， \end{array}$ 关于 $x$ 的方程 $f (x) = t$ 有四个实根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4} (x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4})$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + \frac{1}{4} x_{4}$ 的最小值为.

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16. 已知函数 $f (x) = \cos^{2} (x - \frac{π}{6}) + \sin^{4} x - \cos^{4} x$ ，则 $f (x)$ 的最小值为， $f (x)$ 图象的一条对称轴方程可以是.

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四、解答题

17. 已知 $\tan (α + π) = 3$ .

(1)、求 $\frac{\tan 2 α}{\tan (2021 π - α)}$ 的值；

(2)、求 $\frac{\sin 2 α + \cos^{2} α}{2 + \sin^{2} α}$ 值.

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18. 如图，在三棱锥 $A - P B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B ⊥ A C$ ， $A B$ 与 $A C$ 的长度之和为6米， $A B = 2 A P$ ，现要给三棱锥 $A - P B C$ 的侧面刷油漆，每平方米需要0.5升油漆，油漆价格为60元/升.

(1)、设 $A B = x$ 米，三棱锥 $A - P B C$ 的侧面共需要油漆 $y$ 升，试写出 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式；

(2)、刷油漆需要请油漆工来完成，工费按照每平方米10元计算，若油漆工工费及油漆费用的总预算为400元，试问最后油漆工工费及油漆费用是否有可能会超预算？说明你的理由.

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19. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、把 $y = f (x)$ 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 $m (m > 1)$ 倍（纵坐标不变），得到函数 $y = g (x)$ 的图象，证明： $g (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{3})$ 上有最大值的充要条件是 $1 < m < 8$ .

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20. 已知函数 $f (x) = x - a \sqrt{x - 1} (a \neq 0)$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上的单调性；

(2)、若曲线 $y = f (x)$ 的一条切线的斜率为 $1 - a$ ，证明：这条切线与曲线 $y = f (x)$ 只有一个公共点.

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21. 已知函数 $p (x) = m^{x - 4} + 1$ （ $m > 0$ 且 $m \neq 1$ ）经过定点 $A$ ，函数 $f (x) = \log_{a} x$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象经过点 $A$ .

(1)、求函数 $y = f (2 a - 2^{x})$ 的定义域与值域；

(2)、若函数 $g (x) = f (2 x^{λ}) \cdot f (x^{2}) - 4$ 在 $[\frac{1}{4} ， 4]$ 上有两个零点，求 $λ$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = \ln x + x^{2} + x$ .

(1)、若 $f (x) \leq a x^{2}$ ，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $\frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{x_{1} x_{2}} = - 1$ ，证明： $x_{1} + x_{2} > \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ .

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