河北省邢台市“五岳联盟”2022届高三上学期数学10月联考试卷

试卷更新日期：2021-10-18 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 1 < x \leq 1}$ ， $B = {y | y = x - 1 ， x \in A}$ ，则 $∁_{R} B =$ （）

A、 $[- 2 ， 0)$ B、 $(- \infty ， - 2] \cup (0 ， + \infty)$ C、 $(- 2 ， 0)$ D、 $(- \infty ， - 2] \cup [0 ， + \infty)$

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2. 若向量 $\vec{a} = (2 ， 7)$ ， $\vec{b} = (m ， m - 2)$ ， $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、 $- \frac{5}{4}$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{4}{5}$

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3. 如图，一个“心形”由两个函数的图象构成，则“心形”上部分的函数解析式可能为（）

A、 $y = | x | \sqrt{4 - x^{2}}$ B、 $y = x \sqrt{4 - x^{2}}$ C、 $y = \sqrt{- x^{2} + 2 | x |}$ D、 $y = \sqrt{- x^{2} + 2 x}$

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4. $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ .已知 $(a + b) (\sin A - \sin B) = c \sin C + b (1 + \cos A) \sin C$ ，则 $\cos A =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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5. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = 1$ ， $3 < a_{4} < 5$ ，则 $a_{7}$ 的取值范围是（）

A、 $(6 ， 11)$ B、 $(5 ， 11)$ C、 $(6 ， 12)$ D、 $(5 ， 10)$

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6. 将函数 $f (x) = \cos (2 x - \frac{π}{6})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后，得到函数 $g (x)$ 的图象，则（）

A、 $g (x + \frac{π}{4})$ 为奇函数 B、 $g (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称 C、 $g (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{12} ， 0)$ 对称 D、 $g (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{4})$ 上单调递减

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7. 函数 $f (x) = 4^{x} + \frac{1}{2^{x}} + \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{x}}$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、 $3 \sqrt{2}$

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8. 根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，文化娱乐场所室内甲醛浓度 $\leq 0.1 mg / m^{3}$ 为安全范围.已知某新建文化娱乐场所施工中使用了甲醛喷剂，处于良好的通风环境下时，竣工1周后室内甲醛浓度为 $6.25 mg / m^{3}$ ，3周后室内甲醛浓度为 $1 mg / m^{3}$ ，且室内甲醛浓度 $ρ (t)$ （单位： $mg / m^{3}$ ）与竣工后保持良好通风的时间 $t (t \in N^{*})$ （单位：周）近似满足函数关系式 $ρ (t) = e^{a t + b}$ ，则该文化娱乐场所竣工后的甲醛浓度若要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为（）

A、5周 B、6周 C、7周 D、8周

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二、多选题

9. 设 $[x]$ 表示不大于 $x$ 的最大整数，已知集合 $M = {x | - 2 < [x] < 2}$ ， $N = {x | x^{2} - 5 x < 0}$ ，则（）

A、 $[\lg 200] = 2$ B、 $M \cap N = {x | 0 < x < 2}$ C、 $[\lg 2 - \lg 3 + \lg 5] = 1$ D、 $M \cup N = {x | - 1 \leq x < 5}$

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10. 下列函数中，定义域与值域相同的是（）

A、 $y = \frac{x - 1}{x + 1}$ B、 $y = 2 x - 1$ C、 $y = \log_{2} (4 - 2^{x})$ D、 $y = 6 \sin \sqrt{36 - x^{2}}$

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11. 若 $\sin α + \sqrt{3} \cos α = \frac{1}{2}$ ，则（）

A、 $\cos (α + \frac{5 π}{6}) = \frac{1}{4}$ B、 $3 \tan^{2} α + 8 \sqrt{3} \tan α = - 11$ C、 $\sin (α + \frac{4 π}{3}) = - \frac{1}{4}$ D、 $3 \tan^{2} α + 8 \sqrt{3} \tan α = - 12$

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12. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (x) + f (- x) = 0$ ， $f (x + 1) + f (3 - x) = 0$ ，当 $0 < x < 2$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 x$ ，则（）

A、 $f (x) = f (x + 8)$ B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 2$ 对称 C、当 $4 < x \leq 6$ 时， $f (x) = x^{2} - 10 x + 24$ D、函数 $y = f (x) - \lg x^{2}$ 有4个零点

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三、填空题

13. 设向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 均为单位向量，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) \cdot (3 \vec{a} - 5 \vec{b}) =$ .

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14. 若 $f (\tan x) = \frac{1 - \cos 2 x}{1 + \cos 2 x}$ ，则 $f (3) =$ .

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15. 写出一个同时具有下列四个性质的函数 $f (x) =$ .①定义域为 $(0 ， + \infty)$ ；②单调递增；③ $f (x_{1} x_{2}) + f (1) = f (x_{1}) + f (x_{2})$ ；④ $f (1) > 0$ .

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16. 一张 $B 4$ 纸的厚度为 $0.093 m m$ ，将其对折后厚度变为 $a_{1} = 0.186 m m$ ，第2次对折后厚度变为 $a_{2} = 0.372 m m$ …，第 $n$ 次对折后厚度变为 $a_{n} m m$ ，则 $a_{n} =$ ，数列 ${a_{n} (n^{3} + 6 n^{2} + 6 n + 2)}$ 的前 $n$ 项和为.

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四、解答题

17. 如图，在梯形 $A B C D$ 中， $\vec{A D} = \frac{2}{5} \vec{B C}$ .

(1)、用 $\vec{B A}$ ， $\vec{B C}$ 表示 $\vec{A C}$ ， $\vec{B D}$ ， $\vec{C D}$ ；

(2)、若 $A B = A D = 2$ ，且 $\vec{A C} \cdot \vec{B D} = 9$ ，求 $∠ A B C$ 的大小.

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18. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、把 $y = f (x)$ 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 $m (m > 1)$ 倍（纵坐标不变）后，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，若 $g (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{3})$ 上有最大值，求 $m$ 的取值范围.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = n^{2}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，且 $T_{n} = {(\sqrt{3})}^{n^{2} + n}$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n} b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $M_{n}$ .

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20. 已知函数 $f (x) = \tan (x + \frac{π}{8})$ .

(1)、若 $f (α) = \frac{1}{2} f (β) = 2$ ，求 $\tan (α + β)$ ；

(2)、当 $- \frac{3 π}{8} < x < \frac{5 π}{24}$ 时，讨论函数 $g (x) = f^{2} (x) - (m + 1) f (x) + m$ 的零点个数.

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21. 如图，点 $O$ 在点 $P$ 的正东方向，现有一个圆形音乐喷泉，点 $O$ 为喷泉中心，用无人机于点 $P$ 正上空的点 $P_{1}$ 处，测得点 $O$ 的俯角为 $α$ ，点 $B$ 的俯角为 $β$ ， $P ， A ， O ， B$ 四点共线， $A ， B$ 均在圆 $O$ 上，且 $α + β = \frac{π}{2}$ .已知圆 $O$ 的面积为 $49 π$ 平方米，且 $P O = 9$ 米.

(1)、求无人机的飞行高度；

(2)、如图，现以 $A ， M ， N$ 三点为顶点在音乐喷泉内建造三条排水暗渠，已知暗渠造价为1000元/米，且建造暗渠的预算资金为 $35000$ 元.若要求 $∠ A M N$ ， $∠ M A N$ ， $∠ A N M$ 成等差数列，试问完成三条排水暗渠的建造是否有可能会超预算？说明你的理由.

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22. 已知函数 $f (x)$ 满足 $3 (x) + f (- x) = 4 x^{2} + 8 x$ .

(1)、试问是否存在 $a \in N$ ，使得函数 $g (x) = \frac{f (x)}{x} - a$ 为奇函数?若存在，求 $a$ 的值；若不存在，请说明理由.

(2)、若 $\forall x_{1} \in [2 ， 4]$ ， $\forall x_{2} \in (- 1 ， + \infty)$ ， $m f (x_{1}) + (m + 1) x_{1} < \log_{2} (x_{2}^{3} - 3 x_{2}^{2} + 6)$ ，求 $m$ 的取值范围.

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