福建省南平市2022届高三数学联考试卷

试卷更新日期：2021-10-18 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} > 1}$ ， $B = {x | - 5 < x < 7}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $R$ B、 ${x | 1 < x < 7}$ C、 ${x | - 5 < x < 1}$ D、 ${x | - 5 < x < - 1 或 1 < x < 7}$

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2. 2021年8月8日，第32届夏季奥林匹克运动会在日本东京正式闭.17天的比赛全部结束后，排名前十的金牌数如下表所示，则这10个数据的中位数是（）

排名	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
国家/地区	美国	中国	日本	英国	俄罗斯奥运队	澳大利亚	荷兰	法国	德国	意大利
金牌数	39	38	27	22	20	17	10	10	10	10

A、18.5 B、18 C、19.5 D、20

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3. 将函数 $f (x) = \sin (5 x - \frac{π}{4})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{5}$ 个单位长度，再将得到的图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），最后得到函数 $g (x)$ 的图象，则 $g (x) =$ （）

A、 $\sin (\frac{5}{2} x - \frac{π}{20})$ B、 $\sin (10 x - \frac{π}{20})$ C、 $\sin (\frac{5}{2} x + \frac{3 π}{4})$ D、 $\sin (\frac{5}{2} x + \frac{3 π}{8})$

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4. 已知四边形 $A B C D$ 为梯形，则“ $A D = B C$ ”是“四边形 $A B C D$ 为等腰梯形”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 若直线 $y = x + m$ 与曲线 $y = e^{x - 2 n}$ 相切，则（）

A、 $m + n$ 为定值 B、 $\frac{1}{2} m + n$ 为定值 C、 $m + \frac{1}{2} n$ 为定值 D、 $m + \frac{1}{3} n$ 为定值

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6. 已知单位向量 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ，则 $| \vec{e_{1}} - λ \vec{e_{2}} |$ 的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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7. 已知定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 满足 $f (- x) = - f (2 + x)$ ，当 $- 2 \leq x \leq 0$ 时， $f (x)$ 单调递增，则（）

A、 $f (\tan \frac{7 π}{24}) < f (2021) < f (\log_{3} \frac{1}{2})$ B、 $f (\tan \frac{7 π}{24}) < f (\log_{3} \frac{1}{2}) < f (2021)$ C、 $f (\log_{3} \frac{1}{2}) < f (2021) < f (\tan \frac{7 π}{24})$ D、 $f (\log_{3} \frac{1}{2}) < f (\tan \frac{7 π}{24}) < f (2021)$

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8. 根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，文化娱乐场所室内甲醛浓度 $\leq 0.1 mg / m^{3}$ 为安全范围.已知某新建文化娱乐场所施工中使用了甲醛喷剂，处于良好的通风环境下时，竣工1周后室内甲醛浓度为 $6.25 mg / m^{3}$ ，3周后室内甲醛浓度为 $1 mg / m^{3}$ ，且室内甲醛浓度 $ρ (t)$ （单位： $mg / m^{3}$ ）与竣工后保持良好通风的时间 $t (t \in N^{*})$ （单位：周）近似满足函数关系式 $ρ (t) = e^{a t + b}$ ，则该文化娱乐场所竣工后的甲醛浓度若要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为（）

A、5周 B、6周 C、7周 D、8周

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二、多选题

9. 若实数 $x$ ， $y$ 满足 $(x + i) (3 + y i) = 2 + 4 i$ ，则（）

A、 $1 + y i$ 的共轭复数为 $1 - i$ B、 $x y = 1$ C、 $| y + i |$ 的值可能为 $\sqrt{10}$ D、 $y - 3 x = - 2$

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10. 下列函数中，最小值为9的是（）

A、 $y = (x + \frac{1}{x}) (x + \frac{4}{x})$ B、 $y = \frac{1}{\sin^{2} x} + \frac{4}{\cos^{2} x}$ C、 $y = \lg x + \frac{4}{\lg x - 5}$ D、 $y = \frac{(2 x^{2} + 1) (4 x^{2} + 8)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

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11. 已知函数 $f (x) = \cos^{2} (x - \frac{π}{6}) - \cos 2 x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最大值为 $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{7 π}{6} ， 0)$ 对称 C、 $f (x)$ 图象的对称轴方程为 $x = \frac{5 π}{12} + \frac{k π}{2} (k \in Z)$ D、 $f (x)$ 在 $[0 ， 2 π]$ 上有4个零点

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12. 定义在 $[0 ， + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f (x) + (x^{2} + x) f^{'} (x) < 0$ 恒成立，则必有（）

A、 $3 f (3) < 2 f (1)$ B、 $4 f (2) < 5 f (5)$ C、 $3 f (1) > 5 f (5)$ D、 $2 f (3) > 3 f (7)$

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三、填空题

13. ${(x - y^{3})}^{5}$ 展开式中的第3项为.

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14. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{2} + 2 a_{4} + a_{10} = 32$ ，则 $S_{9} =$ .

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15. 已知 $f (x)$ 不是常数函数，写出一个同时具有下列四个性质的函数 $f (x)$ ：.
①定义域为R；② $f (x) = f (x + \frac{π}{2})$ ；③ $1 + f (2 x) = 2 f^{2} (x)$ ；④ $f (\frac{π}{4}) \neq - 1$ .

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16. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} + 4 x ， x \leq 4 ， \\ | \log_{2} (x - 4) | ， x > 4 ， \end{array}$ 关于 $x$ 的方程 $f (x) = t$ 有四个实根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4} (x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4})$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + \frac{1}{4} x_{4}$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 边上一点， $A B = 2$ ， $B C = 5$ ， $A C = \sqrt{19}$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $3 C D = 2 B D$ ，求 $A D$ 和 $\sin ∠ D A B$ .

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $A P ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B = A P$ ，点 $E$ ， $F$ 分别为 $B P$ ， $C P$ 的中点.

(1)、证明： $B P ⊥$ 平面 $A E F$ .

(2)、若 $A D = 2 A B = 4$ ，求平面 $A E F$ 与平面 $A F P$ 所成锐二面角的余弦值.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = n^{2}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，且 $T_{n} = {(\sqrt{3})}^{n^{2} + n}$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n} b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $M_{n}$ .

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20. 某地区位于甲､乙两条河流的交汇处，夏季多雨，根据统计资料预测，今年汛期甲河流发生洪水的概率为0.25，乙河流发生洪水的概率为0.2（假设两河流发生洪水与否互不影响），今年夏季该地区某工地有许多大型设备，为保护设备，有以下3种方案：方案一：不采取措施，当一条河流发生洪水时，设备将受损，损失30000元.当两河流同时发生洪水时，设备将受损，损失60000元.方案二：修建保护围墙，建设费为4000元，但围墙只能抵御一条河流发生的洪水，当两河流同时发生洪水时，设备将受损，损失60000元.方案三：修建保护大坝，建设费为9000元，能够抵御住两河流同时发生洪水.

(1)、求今年甲､乙两河流至少有一条发生洪水的概率；

(2)、从花费的角度考虑，试比较哪一种方案更好，说明理由.

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴长为 $4 \sqrt{3}$ ，点 $(\sqrt{3} ， \sqrt{6})$ 在 $C$ 上.

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、设 $C$ 的上顶点为A ，右顶点为B ，直线 $l$ 与 $A B$ 平行，且与 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点， $\vec{M D} = \vec{D N}$ ，点 $F$ 为 $C$ 的右焦点，求 $| D F |$ 的最小值.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{x - 1}{e^{x}}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间与极值.

(2)、设 $m$ ， $n$ 为两个不相等的正数，且 $m \ln n - n \ln m = m - n$ ，证明： $m n > e^{4}$ .

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