百校联考2022届高三上学期数学十月调研考试试卷

试卷更新日期：2021-10-18 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | (x - 1) (x + 2) < 0} ，$ 集合 $B = {x | \frac{x}{x - 1} > 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | - 2 < x < 0}$ B、 ${x | 1 < x < 2}$ C、 ${x | 0 < x < 1}$ D、 $R$

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2. 函数 $f (x) = {(1 - x)}^{- \frac{3}{4}} + {(2 x - 1)}^{0}$ 的定义域是（）

A、 $(- \infty ， 1]$ B、 $(- \infty ， \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2} ， 1)$ C、 $(- \infty ， \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2} ， 1]$ D、 $(- \infty ， \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2} ， + \infty)$

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3. 已知 $\sin (α + \frac{π}{6}) = \frac{1}{3}$ ，则 $\sin (2 α - \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $- \frac{7}{9}$ B、 $- \frac{2}{9}$ C、 $\frac{2}{9}$ D、 $\frac{7}{9}$

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4. 函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \ln (x - \frac{1}{x}) ， x > 1 ， \\ e^{\cos π x} ， x \leq 1 \end{array}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x) = x^{2} \cdot e^{| x |}$ ， $a = f (l o g_{3} \sqrt{5})$ ， $b = f (l o g_{3} \frac{1}{2})$ ， $c = f (\ln 3)$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是（）

A、 $c > a > b$ B、 $b > c > a$ C、 $a > b > c$ D、 $c > b > a$

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6. 已知函数 $f (x) (x \in R)$ 满足 $f (- x) = 4 - f (2 + x)$ ，函数 $g (x) = \frac{2 x - 1}{x - 1}$ .若函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的图象共有 $214$ 个交点，记作 $P_{i} (x_{i} ， y_{i}) (i = 1 ， 2 ， \dots ， 214)$ ，则 $\sum_{x = 1}^{214} (x_{i} + y_{i})$ 的值为（）

A、 $642$ B、 $1284$ C、 $214$ D、 $321$

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7. 已知在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $b \sin A + a \cos (B + C) = 0$ ，若 $c = 2 ， \sin C = \frac{3}{5}$ ，则 $a + b =$ （）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{6}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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8. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，当 $x \in [0 ， + \infty)$ 时， $2 \sin x \cdot \cos x - f^{'} (x) > 0$ 且 $\forall x \in R$ ， $f (- x) + f (x) + \cos 2 x = 1$ .则下列说法一定正确的是（）

A、 $\frac{1}{4} - f (- \frac{5 π}{6}) > \frac{3}{4} - f (- \frac{2 π}{3})$ B、 $\frac{1}{4} - f (- \frac{5 π}{6}) > \frac{3}{4} - f (- \frac{4 π}{3})$ C、 $\frac{3}{4} - f (\frac{π}{3}) > \frac{1}{2} - f (\frac{3 π}{4})$ D、 $\frac{1}{2} - f (- \frac{3 π}{4}) > \frac{3}{4} - f (\frac{π}{3})$

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二、多选题

9. 下列叙述中不正确的是（）

A、若 $a ， b ， c \in R$ ，则“不等式 $a x^{2} + b x + c \geq 0$ 恒成立”的充要条件是“ $b^{2} - 4 a c \leq 0$ ”； B、若 $a ， b ， c \in R$ ，则“ $a b^{2} > c b^{2}$ ”的充要条件是“ $a > c$ ”； C、“ $a < 1$ ”是“方程 $x^{2} + x + a = 0$ 有一个正根和一个负根”的必要不充分条件； D、“ $a > 1$ ”是“ $\frac{1}{a} < 1$ ”的充分不必要条件.

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10. 已知函数 $f (x) = 4 \sqrt{3} \sin \frac{3}{2} x \cos \frac{3}{2} x + 4 \sin^{2} \frac{3}{2} x - 2$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的周期为 $\frac{2 π}{3}$ B、函数 $f (x)$ 图象的一条对称轴为直线 $x = - \frac{π}{9}$ C、函数 $f (x)$ 在 $[- \frac{10 π}{9} ， - π]$ 上单调递增 D、函数 $f (x)$ 的最小值为-4

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11. 已知函数 $f (x) = cos (2 x + φ)$ $(| φ | < \frac{π}{2})$ ， $F (x) = f (x) + \frac{\sqrt{3}}{2} f^{'} (x)$ 为奇函数，则下述四个结论中说法正确的是（）

A、 $\tan φ = \sqrt{3}$ B、 $f (x)$ 在 $[- a ， a]$ 上存在零点，则a的最小值为 $\frac{π}{6}$ C、 $F (x)$ 在 $(\frac{π}{4} ， \frac{3 π}{4})$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 有且仅有一个极大值点

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12. 已知函数 $f (x) = e^{x}$ ， $g (x) = \ln \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$ 的图象与直线 $y = m$ 分别交于 $A$ 、 $B$ 两点，则（）

A、 $| A B |$ 的最小值为 $2 + \ln 2$ B、 $\exists m$ 使得曲线 $f (x)$ 在 $A$ 处的切线平行于曲线 $g (x)$ 在 $B$ 处的切线 C、函数 $f (x) - g (x) + m$ 至少存在一个零点 D、 $\exists m$ 使得曲线 $f (x)$ 在点 $A$ 处的切线也是曲线 $g (x)$ 的切线

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三、填空题

13. 若函数f(x)＝ $\sqrt{2^{x^{2} ＋ 2 a x － a} － 1}$ 的定义域为R，则a的取值范围为．

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14. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{- x} {_{}}_{} {_{}}_{} {_{}}_{} {_{}}_{} {_{}}_{} {_{}}_{} {_{}}_{} {_{}}_{} {_{}}_{} {_{}}_{} {_{}}_{}_{} x \leq 0 \\ f (x - 1) - f (x - 2) ， x > 0 \end{array}$ ，则 $f (2021) =$ .

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15. 水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点 $A (1 ， - \sqrt{3})$ 出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时6秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为 $(x ， y)$ ，其纵坐标满足 $y = f (t) = R sin (ω t + φ) (t \geq 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ ，则当 $t \in [0 ， m)$ 时，函数f(t)恰有2个极大值，则m的取值范围是．

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \ln x + \frac{1}{x} ， x > 1 ， \\ 2 x^{2} - m x + \frac{m}{2} + \frac{5}{8} ， x \leq 1 ， \end{array}$ 若 $g (x) = f (x) - m$ 有三个零点，则实数m的取值范围是．

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四、解答题

17. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，∠BAC= $\frac{2 π}{3}$ ， AD平分∠BAC交BC于D，AD=1.

(1)、求△ABC面积S的最小值；

(2)、已知a = $2 \sqrt{5}$ ，求△ABC面积S.

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18. 已知函数 $f (x) = e^{x} \cos x - x$ ．
（Ⅰ）求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

（Ⅱ）求函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最大值和最小值．

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19. 已知 $x$ 为锐角，求函数 $y = \frac{6 \sqrt{3}}{\sin x} + \frac{2}{\cos x}$ 的最值.

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20. 已知二次函数f(x)＝ax²＋x，若对任意x₁、x₂∈R，恒有2f $(\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ ≤f(x₁)＋f(x₂)成立，不等式f(x)＜0的解集为A．

(1)、求集合A；

(2)、设集合B＝{x||x＋4|＜a}，若集合B是集合A的子集，求a的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x) = x \ln x - \frac{1}{2} m x^{2} - x ， m \in R$

(1)、若 $g (x) = f^{'} (x)$ ，( $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数)，求函数 $g (x)$ 在区间 $[1 ， e]$ 上的最大值；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1} ， x_{2}$ ，求证： $x_{1} x_{2} > e^{2}$

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{\sin x}{x} - \ln x$ ．

(1)、证明：函数 $f (x)$ 在 $(0 ， π)$ 上有唯一零点；

(2)、若 $x \in (0 ， 2 π)$ 时，不等式 $f (x) + \ln x + \frac{\sin 2 x}{2 x} \leq \frac{a}{x}$ 恒成立，求实数a的取值范围．

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