河南省商开大联考2020-2021学年高一上期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-10-15 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x > 1} ， B = {x | y = \sqrt{3 - x}}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[1 ， 3)$ B、 $[3 ， + \infty)$ C、 $(1 ， + \infty)$ D、 $(1 ， 3]$

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2. 已知直线l经过原点 $O (0 ， 0)$ 和 $A (1 ， \sqrt{3})$ 两点，则直线l的倾斜角是（）

A、30° B、45° C、60° D、120°

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3. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 1, x \leq 0 \\ 2 x, x > 0 \end{array}$ ，则 $f (f (- 2)) =$ （）

A、6 B、8 C、3 D、1

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4. 若圆 $C_{1}$ ： ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 2$ 与圆 $C_{2}$ ： $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + m = 0$ 外切，则实数 $m =$ （）

A、8 B、9 C、5 D、6

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5. 已知 $a = \log_{0.2} 3$ ， $b = \log_{3} 4$ ， $c = {0.3}^{0.2}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $b > c > a$ B、 $c > a > b$ C、 $c > b > a$ D、 $b > a > c$

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6. 已知m，n为直线，α为平面，下列结论正确的是（）

A、若 $m ⊥ n ， n$ ⊂ $α$ ，则 $m ⊥ α$ B、若 $m ∥ α ， m ⊥ n$ ，则 $n ⊥ α$ C、若 $m ∥ α ， n ∥ α$ ，则 $m ∥ n$ D、若 $m ⊥ α ， n ⊥ α$ ，则 $m ∥ n$

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7. 已知幂函数 $f (x) = (a^{2} + a - 1) x^{a^{2} - 2 a - 3} (a \in R)$ 的图象在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减，则实数 $a$ 的值是（）

A、1 B、-2 C、1或-2 D、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$

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8. 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三梭柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为（）

A、 $16 + 2 \sqrt{13}$ B、 $32 + 4 \sqrt{13}$ C、 $52 + 8 \sqrt{13}$ D、 $26 + 4 \sqrt{13}$

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9. 已知直线 $x + a y - 2 = 0$ 与圆 $C$ ： ${(x - a)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $△ A B C$ 为等边三角形，则实数 $a =$ （）

A、 $\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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10. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = \sqrt{3}$ ， $B C = 2$ ，点 $E$ ， $F$ 分别为 $B C$ ， $A D$ 的中点，将四边形 $C D E F$ 沿 $E F$ 翻折，使得平面 $C D E F ⊥$ 平面 $A B E F$ ，则异面直线 $B D$ 与 $A E$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{30}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{70}}{10}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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11. 已知定义在 $[- 2 ， 2]$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足：对任意的 $x_{1} ， x_{2} \in [- 2 ， 2]$ 都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ 成立，则不等式 $f (x + 1) + f (1 - 4 x) > 0$ 的解集为（）

A、 $(- \frac{1}{4} ， \frac{3}{4})$ B、 $(- \frac{1}{4} ， \frac{2}{3})$ C、 $(- \frac{1}{4} ， 1)$ D、 $(\frac{2}{3} ， \frac{3}{4}]$

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12. 已知等腰直角三角形 $A B C$ 三个顶点都在球 $O$ 的球面上， $A B = B C = 4 ，$ 若球 $O$ 上的点到平面 $A B C$ 的最大距离为4，则球 $O$ 的体积为

A、 $\frac{16 π}{3}$ B、 $\frac{32 π}{3}$ C、18π D、36π

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二、填空题

13. 在空间直角坐标系中有一点 $A (2 ， - 3 ， 5)$ ，若 $A B$ 关于平面 $x O y$ 对称，则 $| A B | =$ .

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14. 已知直线 $l_{1} ： 2 x + b y + 2 = 0$ 与直线 $l_{2} ： 2 x - y + 1 = 0$ 平行，则直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 之间的距离为.

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15. 函数 $g (x) = \log_{a} (x + \sqrt{x^{2} + a b})$ ( $a > 0$ 且 $a \neq 1$ )为奇函数，则 $\frac{a}{b} - 4 a$ 的最小值为.

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16. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} = 1$ ，圆 $C_{2}$ ： $x^{2} + y^{2} = 15$ ，点 $M (1 ， 1)$ ，动点 $A$ ， $B$ 分别在圆 $C_{1}$ 和圆 $C_{2}$ 上，且 $O A ⊥ O B$ ， $N$ 为线段 $A B$ 的中点，则 $| M N |$ 的最小值为.

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三、解答题

17. 设全集 $U = R$ ，集合 $A = {x ∣ - 1 \leq x < 3}$ ， $B = (2 ， 4]$ ， $C = [a ， a + 1] (a \in R)$ .

(1)、求 $A \cup B$ ， $A \cap (∁_{U} B)$ ；

(2)、若 $A \cap C = C$ ，求实数a的取值范围.

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18. 已知圆 $M$ 过点 $A (- 1 ， 2)$ ， $B (1 ， 4)$ ， $C (3 ， 2)$ ．

(1)、求圆 $M$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ ： $3 x + 4 y - b = 0$ 与圆 $M$ 相交所得的弦长为 $2 \sqrt{3}$ ，求 $b$ 的值．

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19. 已知函数 $f (x) = \log_{a} (1 + b x) - \log_{a} (1 - x)$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1 ， b > 0$ ）为奇函数.

(1)、求 $f (x)$ 的定义域；

(2)、求关于 $x$ 的不等式 $f (x) > 0$ 的解集.

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是菱形， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $∠ B A D = 60^{\circ}$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $A B$ ， $P C$ 的中点．

(1)、证明： $E F //$ 平面 $P A D$ ；

(2)、证明： $A B ⊥$ 平面 $P D E$ ．

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21. 设函数 $f (x) = 4^{x + 1} - 2 m \cdot 2^{x} - 3 m (m \in R)$ .

(1)、当 $m = 2$ 时，求 $f (x)$ 的值域；

(2)、若 $f (x)$ 有且只有一个零点，求实数 $m$ 的取值范围.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知直线l： $x + y + 2 = 0$ 和圆O： $x^{2} + y^{2} = 1$ ，P是直线l上一点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B.

(1)、若 $P A ⊥ P B$ ，求点P的坐标；

(2)、求线段 $P A$ 长的最小值；

(3)、设线段 $A B$ 的中点为Q，是否存在点T，使得线段 $T Q$ 长为定值？若存在，求出点T；若不存在，请说明理由.

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