河南省漯河市2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-10-15 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若集合 $A = {- 3 ， - 2 ， 0 ， 2 ， 3}$ ， $B = {x | - 3 < x < 3}$ ，那么 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1 ， 1}$ B、 ${- 2 ， 2}$ C、 ${- 2 ， 0 ， 2}$ D、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1}$

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2. 直线 $l ： x + \sqrt{3} y + 2 = 0$ ，若 $l_{1} ⊥ l$ ，则 $l_{1}$ 的倾斜角是（）

A、30° B、60° C、120° D、150°

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3. 已知 $m$ 、 $n$ 是两条不同的直线， $α$ 是一个平面，则下列结论正确的是（）

A、若 $m // α$ ， $n \subset α$ ，则 $m // n$ B、若 $m // α$ ， $n // α$ ，则 $m // n$ C、若 $m // α$ ， $m ⊥ n$ ，则 $n ⊥ α$ D、若 $m // n$ ， $m ⊥ α$ ，则 $n ⊥ α$

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4. 设 $a = \log_{5} 2 ， b = \log_{\frac{2}{3}} 2 ， c = e^{\frac{1}{2}}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系是（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < b < a$

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5. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学学习和研究中，我们要学会以形助数．则在同一直角坐标系中， $y = 2^{x}$ 与 $y = \log_{2} (- x)$ 的图像可能是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 两直线3x＋4y－2＝0与6x＋8y－5＝0的距离等于（）

A、3 B、7 C、 $\frac{1}{10}$ D、 $\frac{1}{2}$

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7. 下列函数为奇函数的是（）

A、 $y = 2^{x}$ B、 $y = x^{\frac{2}{3}}$ C、 $y = x^{\frac{1}{3}}$ D、 $y = \lg | x |$

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8. 圆心在 $y$ 轴上，且过点 $(3 ， 1)$ 的圆与 $x$ 轴相切，则该圆的方程是

A、 $x^{2} + y^{2} + 10 y = 0$ B、 $x^{2} + y^{2} - 10 y = 0$ C、 $x^{2} + y^{2} + 10 x = 0$ D、 $x^{2} + y^{2} - 10 x = 0$

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9. 长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2 A D = 2 A A_{1}$ ，异面直线 $A C_{1}$ 和 $A_{1} D_{1}$ 所成角的正切值是（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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10. 已知函数 $f (x) = x^{2} + \log_{2} x$ ，若 $f (x + 1) \leq 5$ ，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(- 1 ， 1]$ B、 $(0 ， 1]$ C、 $(- \infty ， 1)$ D、 $(- \infty ， 1]$

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11. 直线 $kx - y - \sqrt{2} k = 0$ 与曲线 $y = \sqrt{1 - x^{2}}$ 交于M、N两点，O为坐标原点，当 $△ OMN$ 面积取最大值时，实数k的值为 $($ $)$

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $- \sqrt{3}$ C、-1 D、1

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12. 如图所示正三棱锥 $P - A B C$ 中， $M$ 是 $P C$ 上一点， $P M = 2 M C$ ，且 $P B ⊥ A M$ ， $A B = 2$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的外接球的表面积为（）

A、2π B、 $2 \sqrt{2} π$ C、4π D、6π

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二、填空题

13. 已知圆 $C ： {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 2$ 关于直线 $2 a x + b y - 2 = 0$ 对称，则 $b - a =$ ．

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14. 已知函数 $f (x)$ ，对于任意的 $x > 0$ ， $f (x) + 2 f (- x) = 0$ ，当 $x < 0$ 时， $f (x) = \ln (- \frac{1}{x}) + 2 x$ ，则 $f (1) =$ ．

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15. 已知底面半径和高都为 $2$ 的圆锥，其内接圆柱的高为 $1$ ，则这个圆柱的侧面积为．

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16. 已知圆 $M ： x^{2} + y^{2} = 2$ ，过圆外一点 $P (2 ， - 2)$ 作圆的两条切线 $P A ， P B$ （切点为 $A ， B$ ），则直线 $A B$ 的方程为．

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = x^{2} + b x + a$ ，对于任意的 $x \in R$ ， $f (- x - 2) = f (x)$ ．

(1)、若 $f (1) = 2$ ，求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $f (x)$ 在 $(1 ， 2)$ 上有零点，求实数 $a$ 的取值范围．

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18. 如图所示长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 2 A A_{1} = 2$ ， $M$ 是 $C C_{1}$ 的中点．

(1)、证明： $A C_{1} / /$ 平面 $B D M$ ；

(2)、若 $P$ 是 $A C_{1}$ 的中点，求三棱锥 $P - B D M$ 的体积．

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19. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | | 2 x - a | \geq 2}$ ， $B = {x | \frac{x - 1}{3 - x} > 0}$ ．

(1)、当 $a = 3$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、如果 $B \subseteq A$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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20. 如图，在四棱锥中 $P - A B C D$ 中， $A D ⊥ C D$ ， $A D // B C$ ， $A D = 2 B C = 2 C D = 4$ ， $P C = 2 \sqrt{5}$ ， $Δ P A D$ 是正三角形.

(1)、求证： $C D ⊥ P A$ ；

(2)、求 $A B$ 与平面 $P C D$ 所成角的余弦值.

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21. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + 1 = 0$ ， $O$ 为坐标原点，动点 $P$ 在圆 $C$ 外，过 $P$ 作圆 $C$ 的切线，切点为 $M$ ．

(1)、若点 $P (1 ， 3)$ ，求此时的切线 $l$ 的方程；

(2)、当 $| P M | = \sqrt{2} | P O |$ 时，求 $P$ 点的轨迹方程．

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22. 已知函数 $f (x) = \log_{2} (\frac{1}{x + a} + 1)$ 是奇函数．

(1)、求 $a$ 的值．

(2)、对任意的 $x \in (- \infty ， - 1]$ ，不等式 $f (2^{x} + \frac{3}{2}) > \log_{2} (m - 2^{x})$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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