河南省开封市五县联考2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-10-15 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {0 ， 2 ， 4 ， 6 ， 8}$ ， $B = {x | x ⩽ 5 且 x \in N}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${2 ， 4}$ B、 ${0 ， 2 ， 4}$ C、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 8}$ D、 $\emptyset$

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2. 斜率为2，且过直线 $y = 4 - x$ 和直线 $y = x + 2$ 交点的直线方程为（）

A、 $y = 2 x + 1$ B、 $y = 2 x - 1$ C、 $y = 2 x - 2$ D、 $y = 2 x + 2$

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3. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(1 ， 3)$ ，则函数 $f (2 x - 1)$ 的定义域为（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(1 ， 5)$ C、 $(2 ， 5)$ D、 $(1 ， 3)$

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4. 已知 $a = 2^{0.2} ， b = {0.5}^{0.2} ， c = \log_{2} 0.5$ ，则（）

A、 $b > a > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > c > a$ D、 $a > b > c$

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5. 在直角三角形 $A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 2$ ， $B C = 1$ ，以 $A C$ 边所在直线为旋转轴，将该直角三角形旋转一周，所得几何体的体积是（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、π

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6. 若直线 $y = x + b$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 3 = 0$ 相切，则实数b的值为（）

A、-2或1 B、-1或3 C、0或2 D、-3或1

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7. 某几何体的三视图如图所示(单位： $cm$ )，则该几何体的表面积(单位： ${cm}^{2}$ )是（）

A、 $56 + 12 \sqrt{2} ({cm}^{2})$ B、 $48 + 16 \sqrt{2} ({cm}^{2})$ C、 $80 + 12 \sqrt{2} ({cm}^{2})$ D、 $72 + 16 \sqrt{2} ({cm}^{2})$

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8. 已知某商品的进货成本为10（元/件），经过长时间调研，发现售价x（元）与月销售量y（件）满足函数关系式 $y = \frac{16000}{x^{2}} + \frac{800}{x}$ ．为了获得最大利润，商品售价应为（）

A、80元 B、60元 C、50元 D、40元

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9. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E为 $A_{1} D_{1}$ 的中点﹐F为 $A A_{1}$ 的中点，O为上底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的中心，则异面直线EF与OB所成的角的大小为（）

A、30° B、45° C、60° D、120°

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10. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中，侧面 $△ P B C$ 和底面 $△ A B C$ 均为等边三角形，点P在底面 $A B C$ 的投影为 $△ A B C$ 的中心O ，则直线 $A P$ 与底面 $A B C$ 所成的角的正切值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $\frac{5}{3}$

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11. 已知函数 $f (x) = | x - a | - 3$ ，若函数 $f (f (x))$ 无零点，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， - 6)$ B、 $(- \infty ， - 6]$ C、 $(- \infty ， 0)$ D、 $(- \infty ， 0]$

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12. 已知A、B是圆O： $x^{2} + y^{2} = 4$ 上两个动点，点P的坐标为 $(2 ， 1)$ ，若 $P A ⊥ P B$ ，则线段 $A B$ 长度的最大值为（）

A、 $3 + \sqrt{2}$ B、 $2 + \sqrt{5}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3} + \sqrt{5}$

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二、填空题

13. 幂函数 $f (x) = (m - 1) x^{- m}$ 的增区间为．

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14. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为R ，且对任意 $x_{1} ， x_{2} \in R (x_{1} \neq x_{2})$ ，均有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ 成立，则不等式 $f (\log_{2} (1 - x)) > f (3)$ 的解集为．

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15. 如图，在边长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 在正方体的表面上移动，且满足 $B_{1} P ⊥ D_{1} B$ ，则满足条件的所有点 $P$ 构成的平面图形的面积是.

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16. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $△ P A D$ 为等边三角形，四边形 $A B C D$ 为矩形， $A B = 2 A D = 4$ ，则四棱锥 $P - A B C D$ 的外接球的表面积为．

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三、解答题

17. 已知直线 $l_{1}$ ： $y = \frac{3}{a} x - 1$ ， $l_{2}$ ： $y = (a - 2) x + a$ ，其中 $a \neq 0$ .

(1)、若 $l_{1} // l_{2}$ ，求实数 $a$ 的值；

(2)、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，求实数 $a$ 的值.

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18. 如图，已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ， $E$ 、 $F$ 分别是棱 $C C_{1}$ 、 $A B$ 的中点．

(1)、证明： $A C ⊥ B_{1} E$ ；

(2)、证明： $C F //$ 平面 $A E B_{1}$ ．

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19. 如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $A D ⊥ A B$ ， $A B // C D$ ， $A B = A D = A A_{1} = 1$ ， $∠ B C D = 45 °$ .

(1)、求证： $B C ⊥$ 平面 $B B_{1} D_{1} D$ ；

(2)、求点 $B_{1}$ 到平面 $B C_{1} D_{1}$ 的距离.

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} - 3}{2^{x} + a} + b (a > 0)$ 为定义在 $R$ 上的奇函数.

(1)、求实数 $a ， b$ 的值；

(2)、解关于 $x$ 的不等式 $f (x) + \frac{4}{f (x) + 2} ⩽ 3$ .

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21. 已知函数 $f (x) = (\log_{2} 16 + \log_{2} x^{2}) \cdot \log_{2} \frac{x}{64}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的值域；

(2)、关于 $x$ 的方程 $f (- x^{2} + a x) = 0$ 恰有三个解，求实数 $a$ 的取值集合；

(3)、若 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = m$ ，且 $x_{2} > 2 x_{1} > 0$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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22. 已知圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} = 1$ ，直线 $l$ ： $(m + 1) x + (1 - m) y - 1 = 0$ （ $m \in R$ ）．

(1)、求直线 $l$ 所过定点A的坐标；

(2)、若直线 $l$ 被圆 $C$ 所截得的弦长为 $\sqrt{3}$ ，求实数 $m$ 的值；

(3)、若点 $B$ 的坐标为 $(- 2 ， 0)$ ，在 $x$ 轴上存在点 $D$ （不同于点 $B$ ）满足：对于圆 $C$ 上任意一点 $P$ ，都有 $\frac{P B}{P D}$ 为一常数，求所有满足条件的点 $D$ 的坐标．

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