河北省迁安市2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-10-15 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5} ， B = {x \in R | x \geq 3}$ ，图中阴影部分所表示的集合为

A、 ${1 ， 2}$ B、 ${4 ， 5}$ C、 ${1 ， 2 ， 3}$ D、 ${3 ， 4 ， 5}$

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2. 如果 $a < b < 0$ ， $c \in R$ ，那么（）

A、 $a - b > 0$ B、 $a c < b c$ C、 $a^{2} < b^{2}$ D、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$

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3. 若 $x \in {1 ， 2 ， x^{2}}$ ，则 $x$ 的可能值为（）

A、0 B、0，1 C、0，2 D、0，1，2

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4. 下列命题中，真命题是（）．

A、 $\exists$ x $\in$ R，x²＋1＝x B、 $\exists$ x $\in$ R，x²＋1＜2x C、 $\forall$ x $\in$ R，x²＋1＞x D、 $\forall$ x $\in$ R，x²＋2x＞1

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5. 在 $(0 ， 2 π)$ 内，使 $\sin x > \cos x$ 成立的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}) \cup (π ， \frac{5 π}{4})$ B、 $(\frac{π}{4} ， π)$ C、 $(\frac{π}{4} ， \frac{5 π}{4})$ D、 $(\frac{π}{4} ， π) \cup (\frac{5 π}{4} ， \frac{3 π}{2})$

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6. 设 $a \log_{3} 4 = 2$ ，则 $4^{- a} =$ （）

A、 $\frac{1}{16}$ B、 $\frac{1}{9}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、 $\frac{1}{6}$

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7. 若定义在 $[0 ， m]$ 上的函数 $y = x^{2} - 3 x - 4$ 的值域为 $[- \frac{25}{4} ， - 4]$ ，则 $m$ 取值范围是（）

A、 $[\frac{3}{2} ， + \infty)$ B、 $[0 ， 3]$ C、 $[\frac{3}{2} ， 3]$ D、 $[0 ， \frac{3}{2}]$

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8. 若 $0 < α < \frac{π}{2} < β < π ，$ 且 $\cos β = - \frac{1}{3} ， \sin (α + β) = \frac{7}{9} ，$ 则 $\sin α$ 的值是（）

A、 $\frac{1}{27}$ B、 $\frac{5}{27}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{23}{27}$

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} ， x \leq 0 ， \\ - x^{2} ， x > 0 ， \end{array}$ 则下列结论中正确的是（）

A、 $f (\sqrt{2}) = 2$ B、若 $f (m) = 9$ ，则 $m \neq \pm 3$ C、 $f (x)$ 是奇函数 D、在 $f (x)$ 上 $R$ 单调递减

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10. 下列选项中正确的是（）

A、不等式 $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ 恒成立 B、若 $a$ ､ $b$ 为正实数，则 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2$ C、当 $a \neq 0$ ，不等式 $a + \frac{1}{a} \geq 2$ 恒成立 D、若正实数 $x$ ， $y$ 满足 $x + 2 y = 1$ ，则 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y} \geq 8$

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11. 关于函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ ， $x \in R$ ，下列命题正确的是（）

A、函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{6} ， 0)$ 对称 B、函数 $y = f (x)$ 在 $(- \frac{π}{6} ， \frac{π}{6})$ 上单调递增 C、函数 $y = f (x)$ 的表达式可改写为 $y = \cos (2 x - \frac{π}{6})$ D、函数 $y = f (x)$ 图像可先将 $y = \sin x$ 图像向左平移 $\frac{π}{6}$ ，再把各点横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ 得到

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12. 给定函数 $f (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$ （）

A、 $f (x)$ 的图像关于原点对称 B、 $f (x)$ 的值域是 $[- 1 ， 1]$ C、 $f (x)$ 在区间 $[1 ， + \infty)$ 上是增函数 D、 $f (x)$ 有三个零点

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三、填空题

13. 已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中，角 $α$ 的顶点在原点，始边与 $x$ 轴的正半轴重合，终边经过点 $(2 ， 4)$ ，则 $\cos 2 α =$ .

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14. 函数 $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} (x^{2} - 5 x + 6)$ 的单调递减区间为.

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15. $\sin 50 ° (1 + \sqrt{3} \tan 10 °)$ 的值.

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16. 已知函数 $f (x)$ 是偶函数，它在 $[0 ， + \infty)$ 上是减函数，若满足 $f (\lg x) < f (1)$ ，则 $x$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知 $\tan (α + \frac{π}{4}) = - 3$ ，求 $\frac{\sin (2 π - α) \cdot \cos (α + \frac{3 π}{2})}{\cos (π + 2 α)}$ 的值.

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18. 设全集为 $R$ ， $A = {x | 2 < x - a < 6}$ ， $B = {x | x^{2} - 12 x + 20 < 0}$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $(∁_{R} A) \cap B$ ；

(2)、若 $A \subseteq B$ ，求 $a$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = - 1 + 2 \sqrt{3} \sin x \cos x + 2 \cos^{2} x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调减区间；

(3)、当 $x \in [- \frac{7 π}{12} ， \frac{5 π}{12}]$ 时，画出函数 $f (x)$ 的图象.

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20. 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量 $y$ （毫克）与时间 $t$ （小时）成正比；药物释放完毕后， $y$ 与 $t$ 的函数关系式为 $y = {(\frac{1}{16})}^{t - a}$ （ $a$ 为常数），如图所示，根据图中提供的信息，求：

(1)、从药物释放开始，每立方米空气中的含药量 $y$ （毫克）与时间 $t$ （小时）之间的函数关系式；

(2)、据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过多少小时候后，学生才能回到教室.

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21. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ ，（ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）图象的一部分如图所示.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、当 $x \in [- 6 ， - \frac{2}{3}]$ 时，求 $y = f (x) + f (x + 2)$ 的值域.

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22. 设函数 $f (x) = \lg (a^{x} - b^{x})$ ，其中 $a > 0$ ， $b > 0$ 且 $a \neq b$ .

(1)、求 $f (x)$ 的定义域；

(2)、当 $a > 1 > b > 0$ 时，函数 $f (x)$ 图象上是否存在不同两点，使过这两点的直线平行于 $x$ 轴，并证明.

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