河北省沧州市2020-2021学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-10-15 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知扇形圆心角为108°，半径为 $\sqrt{10}$ ，则此扇形的面积为（）

A、2π B、3π C、4π D、6π

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2. 已知集合 $M = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ， $N = {x | | x | \leq 1 ， x \in N}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ B、 $[- 1 ， 1]$ C、 ${0 ， 1}$ D、 $[0 ， 1]$

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3. 已知命题 $p$ ： $\exists x \in R$ ， $5^{x} + 3^{x} < \log_{3} x + \log_{5} x$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\exists x \in R$ ， $5^{x} + 3^{x} > \log_{3} x + \log_{5} x$ B、 $\exists x \in R$ ， $5^{x} + 3^{x} \geq \log_{3} x + \log_{5} x$ C、 $\forall x \in R$ ， $5^{x} + 3^{x} > \log_{3} x + \log_{5} x$ D、 $\forall x \in R$ ， $5^{x} + 3^{x} \geq \log_{3} x + \log_{5} x$

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4. 下列函数中，为偶函数的是（）

A、 $y = \frac{x^{2}}{x - 1}$ B、 $y = 3 \sin x$ C、 $y = \lg (\sqrt{x^{2} + 1} - x)$ D、 $y = 2^{x} + 2^{- x}$

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5. 已知 $a = {(\frac{5}{7})}^{\frac{7}{5}}$ ， $b = {(\frac{7}{5})}^{\frac{5}{7}}$ ， $c = \log_{\frac{5}{7}} \frac{7}{5}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $b > a > c$ B、 $a > b > c$ C、 $c > a > b$ D、 $b > c > a$

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6. 已知 $\sin α = - 5 \cos α$ ，则 $\sin α \cos α =$ （）

A、 $\frac{5}{26}$ B、 $- \frac{5}{26}$ C、 $\frac{25}{26}$ D、 $- \frac{25}{26}$

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7. 计算 $2^{\log_{2} 5} + \log_{3} 243 - {(\frac{1}{625})}^{- \frac{3}{4}} + {(1 - \sqrt{3})}^{0}$ 的结果为（）

A、-115 B、-114 C、-15 D、-14

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8. 已知函数 $f (x) = x^{3} - \frac{1}{e^{x}} - 4$ ，则 $f (x)$ 的零点所在的区间为（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(3 ， 4)$ D、 $(4 ， 5)$

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二、多选题

9. 已知 $c < d < 0 < a < b$ ，则下列关系中一定正确的有（）

A、 $a + c < b + d$ B、 $c^{2} < b^{2}$ C、 $\frac{1}{c + d} < \frac{1}{a + b}$ D、 $b c > a d$

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10. 关于函数 $f (x) = \tan 3 x$ ，下列说法正确的有（）

A、函数 $f (x)$ 是奇函数 B、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{2 π}{3}$ C、把函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后，得到 $y = \tan (3 x - \frac{π}{4})$ 的图象 D、点 $(\frac{π}{6} ， 0)$ 为函数 $f (x)$ 图象的一个对称中心

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11. 下列命题中正确的是（）

A、已知 $a \in R$ ，命题 $p$ ： $a > 2$ ，命题 $q$ ： $a^{2} > 2 a$ ，则 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件 B、已知 $a \in R$ ，则“ $a < 2$ ”是“ $a < 0$ ”的必要不充分条件 C、已知 $a \in R$ ，则命题“ $0 \leq a < 2$ ”是命题“函数 $y = \sqrt{a x^{2} + 2 a x + 2}$ 的定义域是 $R$ ”的既不充分也不必要条件 D、命题“ $\forall x \in (2 ， + \infty)$ ， $x^{2} + 1 > m$ 成立”是真命题的充要条件是 $m \leq 5$

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{a x - a + 1}{x + 2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的定义域为 $(- \infty ， - 2) \cup (- 2 ， + \infty)$ B、当函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(- 2 ， 3)$ 成中心对称时， $a = \frac{3}{2}$ C、当 $a < \frac{1}{3}$ 时， $f (x)$ 在 $(2 ， + \infty)$ 上单调递减 D、设定义域为 $R$ 的函数 $g (x)$ 满足 $g (x - 4) + g (- x) = 4$ ，若 $a = 2$ ，且 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的图象共有2020个交点，记为 $A_{i} (x_{i} ， y_{i})$ ( $i = 1$ ，2，…，2020)，则 $(x_{1} + y_{1}) + (x_{2} + y_{2}) + \dots + (x_{2020} + y_{2020})$ 的值为0

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三、填空题

13. 已知角 $α$ 的终边过点 $P (- \frac{2 \sqrt{5}}{5} ， - \frac{\sqrt{5}}{5})$ ，则 $\sin α - \cos α =$ .

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14. 函数 $f (x) = \frac{\ln (x - 1)}{\sqrt{- x^{2} + 3 x + 10}}$ 的定义域为.

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15. 若 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $9 x + 4 y = x y$ ，则 $x + y$ 的最小值为.

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16. 设函数 $f (x) = - \frac{3}{2} \cos 2 x + a | \sin x | + a + \frac{9}{2}$ ， $a \in R$ .若方程 $f (x) = 0$ 在 $(- π ， π)$ 上有8个不不相等的实数根，则 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | 1 \leq 2^{x - 1} \leq 64}$ ， $B = {x | 2 m \leq x \leq m + 3}$ .

(1)、若 $m = - 1$ ，求 $(∁_{R} A) \cap B$ ；

(2)、从下面三个条件中任选一个，求 $m$ 的范围.① $A \cap B = B$ ② $A \cup B = A$ ③ $(∁_{R} B) \cup A = R$

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18. 已知 $\sin α = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ， $α \in (\frac{π}{2} ， π)$ ， $\cos β = - \frac{3}{5}$ ， $β \in (0 ， π)$ .

(1)、求 $\sin (\frac{2021}{4} π + α)$ 的值；

(2)、求 $\cos (2 α - β)$ 的值.

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19. 某地政府指导本地建扶贫车间､搭建就业平台，帮助贫困群众实现精准脱贫，实现困难群众就地就近就业.已知扶贫车间生产某种产品的年固定成本为8万元，每生产 $x$ ( $x > 0$ )万件，该产品需另投入流动成本 $W$ 万元.在年产量不足6万件时， $W = \frac{1}{2} x^{2} + x$ ；在年产量不小于6万件时， $W = 7 x + \frac{81}{x} - 40$ .每件产品的售价为6元.由于该扶货车间利用了扶贫政策及企业产业链优势，因此该种产品能在当年全部售完.

(1)、写出年利润 $P$ (万元)关于年产量 $x$ (万件)的函数解析式；

(2)、当年产量为多少时，该扶贫车间的年利润最大？并求出最大年利润.

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20. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + b x + a - 2$ ， $a$ ， $b \in R$ .

(1)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) > 0$ 的解集为 $(- \infty ， - 1) \cup (2 ， + \infty)$ ，求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、若 $b = 2 - 2 a$ ，解关于 $x$ 的不等式 $f (x) > 0$ .

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21. 函数 $f (x) = A \cos (ω x + φ)$ ( $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $0 < φ < π$ )的部分图象如图所示.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{1}{2}$ 个单位后，得到函数 $y = g (x)$ 的图象.当 $x \in [- 1 ， 0]$ 时，求函数 $F (x) = f (x) + \sqrt{3} g (x)$ 的单调区间与最值.

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22. 已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x) = \ln (\sqrt{x^{2} + m} - x)$ 为奇函数.

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、判断并证明函数 $f (x)$ 的单调性，若 $f (a x^{2} - 2 x) < \ln (4 + \sqrt{17})$ 在 $x \in [2 ， 5]$ 上恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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